Слабкий гаусдорфів простір

У топології слабким гаусдорфовим простором називають топологічний простір X для якого для будь-якого компактного гаусдорфового простору K і неперервного відображення f : K → X образ f (K) є замкнутою підмножиною у X.^[1]

Цей тип просторів ввів американський математик Майкл МакКорд у 1969 році ^[2]. Слабкі гаусдорфові простори найчастіше використовуються у алгебричній топології, часто у поєднанні із вимогою компактної породженості.

• Слабкий гаусдорфів простір є T₁ простором.^[3][4]

Одним із еквівалентних означень T₁ простору є те, що всі його одноточкові підмножини є замкнутими. Але одноточкові підмножини простору X можна розглядати як образи неперервних відображень із деякої одноточкової множини (яка буде компактною і гаусдорфовою) у X. Якщо X є слабким гаусдорфовим, то всі ці образи є замкнутими підмножинами і X є простором T₁.

• Для слабкого гаусдорфового простору ${\displaystyle X}$ і гаусдорфового компактного простору ${\displaystyle K}$ образ ${\displaystyle f(K)}$ при неперервному відображенні ${\displaystyle f:K\to X}$ є гаусдорфовим підпростором.

Нехай ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ є різними точками ${\displaystyle f(K)}$ і позначимо ${\displaystyle H_{x}=f^{-1}(\{x\})}$ і ${\displaystyle H_{y}=f^{-1}(\{y\})}$; ${\displaystyle H_{x}}$ і ${\displaystyle H_{y}}$ є замкнутими множинами із пустим перетином. Оскільки простір ${\displaystyle K}$ є нормальним, то існують відкриті підмножини ${\displaystyle U_{x}}$ і ${\displaystyle U_{y}}$ у ${\displaystyle K}$ із пустим перетином для яких ${\displaystyle H_{x}\subseteq U_{x}}$ і ${\displaystyle H_{y}\subseteq U_{y}}$. Нехай тепер ${\displaystyle V_{x}=f(K)\setminus f(K\setminus U_{x})}$ і ${\displaystyle V_{y}=f(K)\setminus f(K\setminus U_{y})}$. Підпростори ${\displaystyle K\setminus U_{x}}$ і ${\displaystyle K\setminus U_{y}}$ є компактними і гаусдорфовими і їх образи при ${\displaystyle f}$ є замкнутими і тому ${\displaystyle V_{x}}$ і ${\displaystyle V_{y}}$ є відкритими підмножинами ${\displaystyle f(K)}$ для яких ${\displaystyle x\in V_{x}}$ і ${\displaystyle y\in V_{y}}$. Якщо ${\displaystyle z\in V_{x}\cap V_{y}}$, нехай ${\displaystyle p\in K}$ точка для якої ${\displaystyle f(p)=z}$; але тоді ${\displaystyle p\in U_{x}\cap U_{y}}$, що є неможливим. Тобто перетин ${\displaystyle V_{x}}$ і ${\displaystyle V_{y}}$ є пустим і із довільності вибору точок ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ випливає, що ${\displaystyle f(K)}$ є гаусдорфовим підпростором.

• Нехай ${\displaystyle \{X_{i}:i\in I\}}$ є сім'єю слабких гаусдорфових просторів. Тоді добуток ${\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}$є слабким гаусдорфовим простором.

Нехай ${\displaystyle K}$ є компактним гаусдорфовим простором і ${\displaystyle f:K\to X}$ є неперервним відображенням. Для ${\displaystyle i\in I}$ нехай ${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i}}$ позначає стандартну проєкцію і ${\displaystyle H_{i}=(\pi _{i}\circ f)(K)}$. Кожен підпростір ${\displaystyle H_{i}}$ є замкнутим, компактним і гаусдорфовим у ${\displaystyle X_{i}}$, тож ${\displaystyle \prod _{i\in I}H_{i}}$ є замкнутим, компактним і гаусдорфовим підпростором ${\displaystyle X}$. Оскільки ${\displaystyle f(K)}$ є компактною підмножиною у ${\displaystyle \prod _{i\in I}H_{i}}$, то ${\displaystyle f(K)}$ є замкнутою у ${\displaystyle \prod _{i\in I}H_{i}}$, а тому й у ${\displaystyle X}$.

• Кожен гаусдорфів простір є слабким гаусдорфовим.

Справді, для компактного простору якщо K образ f (K) при неперервному відображенні буде компактною підмножиною. Якщо додатково X є гаусдорфовим простором то довільна його компактна підмножина, зокрема і f (K) є замкнутою. Тобто X є слабким гаусдорфовим.

• Довільний KC-простір, тобто простір у якому всі компактні підмножини є замкнутими є слабким гаусдорфовим простором. Це випливає з того, що образ довільного компактного простору при неперервному відображенні є компактною множиною, тож якщо відображення здійснюється у KC-простір то цей образ також буде замкнутим. Гаусдорфові простори є прикладом KC-просторів, тож цей приклад узагальнює попередній.
• У статті одноточкова компактифікація показано, що одноточкова компактифікація простору раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$ є KC-простором але не є гаусдорфовим простором. Тому ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$ є прикладом слабкого гаусдорфового простору, що не є гаусдорфовим простором.
• Добуток ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}\times \mathbb {Q} ^{*}}$ одноточкових компактифікацій простору раціональних чисел теж є слабким гаусдорфовим простором. Але він не є KC-простором.

Якщо позначити ${\displaystyle \Delta =\{\langle x,x\rangle :x\in \mathbb {Q} ^{*}\}}$ діагональ простору то ${\displaystyle \Delta }$ є гомеоморфною ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$ і тому компактною. Позначимо точку ${\displaystyle P=\langle p,0\rangle \in X}$, де p — додаткова точка у компактифікації ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$ і для кожного ${\displaystyle \epsilon >0}$ також ${\displaystyle I_{\epsilon }=(-\epsilon ,\epsilon )\cap \mathbb {Q} }$. Для кожної компактної підмножини ${\displaystyle K}$ у ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ і ${\displaystyle \epsilon >0}$ позначимо ${\displaystyle B(K,\epsilon )=(\mathbb {Q} ^{*}\setminus K)\times I_{\epsilon }}$ і нехай ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ є сім'єю всіх таких ${\displaystyle B(K,\epsilon )}$. Тоді ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ є локальним базисом у точці ${\displaystyle P}$. Зафіксуємо ${\displaystyle B(K,\epsilon )\in {\mathcal {B}}}$. Тоді ${\displaystyle I_{\epsilon }\setminus K\neq \varnothing }$ і можна вибрати ${\displaystyle y\in I_{\epsilon }\setminus K}$; тоді ${\displaystyle \langle y,y\rangle \in \Delta \cap B(K,\epsilon )}$ і з довільності вибору ${\displaystyle B(K,\epsilon )}$ випливає, що ${\displaystyle P}$ належить замиканню ${\displaystyle \Delta }$ але не ${\displaystyle \Delta }$. Тобто ${\displaystyle \Delta }$ є компактною але не замкнутою підмножиною.

• Гаусдорфів простір
• Компактно породжений простір
• Простір T1