Нормальна підгрупа

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Характер групи Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це особлива підгрупа, в яких лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати фактор-групу по заданій групі.

Підгрупа ${\displaystyle \ N}$ групи ${\displaystyle \ G}$ називається нормальною, якщо вона інваріантна відносно спряження, тобто:

${\displaystyle N\triangleleft G\quad \iff \quad \forall n\in N,g\in G:\;\;gng^{-1}\in N.}$

Наступні умови нормальності підгрупи є еквівалентними:

1. ${\displaystyle \forall g\in G:\;gNg^{-1}\subseteq N}$
2. ${\displaystyle \forall g\in G:\;gNg^{-1}=N}$
3. Множини лівих і правих суміжних класів ${\displaystyle N}$ в ${\displaystyle G}$ збігаються.
4. ${\displaystyle \forall g\in G:\;gN=Ng}$.

Умова (1) слабша, чим (2), а умова (3) слабша, ніж (4). Тому умови (1) та (3) часто використовують при доведенні нормальності підгрупи.

• ${\displaystyle \ \{e\}}$ та ${\displaystyle G}$ — завжди нормальні підгрупи ${\displaystyle G}$. Вони називаються тривіальними. Якщо інших нормальних підгруп немає, то група ${\displaystyle G}$ називається простою.^[1]

• Центр групи — нормальна підгрупа.^[2]

• Комутант групи — нормальна підгрупа.^[3]

• Довільна характеристична підгрупа є нормальною, бо її спряження завжди є автоморфізмом.

• Всі підгрупи ${\displaystyle N}$ абелевої групи ${\displaystyle G}$ нормальні, тому що ${\displaystyle gN=Ng}$.^[4] Неабелева група, в якої всі підгрупи нормальні називається гамільтоновою.

• Нормальність зберігається при епіморфізмах (сюр'єктивних гомоморфізмах) і взятті обернених образів.
• Нормальність зберігається при побудові прямого добутку.
• Нормальна підгрупа нормальної підгрупи не обов'язково є нормальною в групі, тобто нормальність не транзитивна.^[5] Але характеристична підгрупа нормальної підгрупи є нормальною.

Наприклад, діедральна група ${\displaystyle D_{4}=\langle r,f|f^{2}=1,r^{4}=1,fr=r^{-1}f\rangle .}$

Підгрупа ${\displaystyle H=\langle rf,fr\rangle =\{1,rf,r^{2},fr\}\simeq C_{2}\times C_{2}}$ ізоморфна групі Клейна і ${\displaystyle H\triangleleft G.}$

І далі, ${\displaystyle K=\langle rf\rangle =\{1,rf\}\triangleleft H,}$ але ${\displaystyle K}$ не нормальна в ${\displaystyle G,}$ оскільки ${\displaystyle f\cdot rf\cdot f^{-1}=f\cdot rf\cdot f=fr\notin K.}$

• Кожна підгрупа індексу 2 є нормальною.^[6] Якщо ${\displaystyle p}$ — найменший простий дільник порядку ${\displaystyle G}$, то довільна підгрупа індекса ${\displaystyle p}$ нормальна.
• Якщо ${\displaystyle N}$ — нормальна підгрупа в ${\displaystyle G}$, то на множині лівих (правих) суміжних класів ${\displaystyle G/N}$ можна ввести групову структуру за правилом

${\displaystyle (g_{1}N)(g_{2}N)=(g_{1}g_{2})N}$

Отримана множина називається фактор-групою ${\displaystyle G}$ за ${\displaystyle N}$.

• ${\displaystyle N}$ нормальна тоді і тільки тоді, коли вона тривіально діє на лівих суміжних класах ${\displaystyle G/N}$.
• Нормальні підгрупи групи G утворюють ґратку відносно операції включення з найменшим елементом {e} та найбільшим елементом G. Ґратка є повною та модулярною.

Еварист Галуа перший зрозумів важливість нормальних підгруп.

• Норма (теорія груп)
• Квазінормальна підгрупа

• Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Ганюшкін О. Г., Безущак О. О. Теорія груп: Навчальний посібник. — Київ : ВПЦ "Київський університет", 2005.(укр.)

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)