信息几何

信息几何是用微分几何研究概率论和统计学的交叉学科。^[1]

引言

从历史上看，信息几何可追溯到卡利安普迪·拉达克里希纳·拉奥的工作，他首先将费希尔矩阵视为黎曼度量。^[2]^[3]现代理论主要归功于甘利俊一，他的工作对该领域产生了重大影响。^[4]

经典的信息几何将有参概率模型视作黎曼流形。对于这类模型，可自然选择出黎曼度量，即费希尔信息度量。在概率模型为指数族时，有可能用黑塞度量（即凸函数的势给出的黎曼度量）导出统计流形，这时流形会自然继承两个平面仿射联络，以及正规布雷格曼散度。历史上，许多工作都致力于研究这些例子的相关几何。在现代背景下，信息几何适用于更广泛的背景，包括非指数族、非参数统计，甚至是不从已知概率模型导出的抽象统计流形。这些结果结合了信息论、仿射微分几何、凸分析等众多领域的技术。

该领域的标准参考书是甘利俊一与长冈浩司的《信息几何方法》^[5]及Nihat Ay等人的最新著作。^[6]Frank Nielsen在调查报告中做了较温和的介绍。^[7]2018年，《信息几何学》期刊正式创立，专门讨论该领域。

应用

作为一个跨学科领域，信息几何已被广泛应用于各种领域，主要应用于统计分析、控制理论、神经网络、量子力学、信息论等领域。

下面是不完整的清单：

统计推断^[8]
时间序列与线性系统
过滤问题^[9]
量子系统^[10]
神经网络
机器学习
统计力学
生物学
统计学^[11] ^[12]
金融数学^[13]

另见

参考文献

^ Nielsen, Frank. The Many Faces of Information Geometry (PDF). Notices of the AMS (American Mathematical Society). 2022, 69 (1): 36-45 [2023-11-09]. （原始内容存档 (PDF)于2023-11-09）.
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^ Ay, Nihat; Jost, Jürgen; Lê, Hông Vân; Schwachhöfer, Lorenz. Information Geometry. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 64. Springer. 2017. ISBN 978-3-319-56477-7.
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