可忽略函数

在数学中，可忽略函数（英語：Negligible function）是指

对于一个函数 ${\displaystyle \mu (x):\mathbb {N} {\rightarrow }\mathbb {R} }$ ，如果对于任意一个正多项式${\displaystyle poly()}$，存在一个${\displaystyle N_{c}>0}$，使得对于所有的${\displaystyle x>N_{c}}$

${\displaystyle \mu (x)<{\frac {1}{poly(x)}}}$

那么这个函数便是可忽略的（negligible）。通常我们把“存在一个${\displaystyle N_{c}>0}$，使得对于所有的${\displaystyle x>N_{c}}$”简化为“对于所有足够大的${\displaystyle x}$”。

可忽略函数这个概念是和数学分析的形式化模型相关的。^{[註 1]}第一个比较严格的定义是波尔查诺在1817年给出的。后来的柯西, 魏尔施特拉斯和海涅都用了基本相同的以下定义^{[註 2]}：

（连续函数） 一个实数函数${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle x=x_{0}}$处连续，当对于任意一个正实数${\displaystyle \epsilon >0}$，有一个正实数${\displaystyle \delta >0}$，使${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$时，有${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon }$。

只要每步改变一项参数，此定义就可经数步转换成为可忽略函数的定义。首先，当${\displaystyle x_{0}=\infty ,f(x_{0})=0}$时，我们需要定义"足够大"（sufficiently large），并定义無窮小量：

（足够大） 实数${\displaystyle x}$足够大时一个数学命题为真，当且仅当存在一个实数${\displaystyle N_{c}>0}$，对所有的实数${\displaystyle x>N_{c}}$此数学命题为真。

（无穷小） 一个连续函数${\displaystyle \mu (x)}$无穷小，当对任意足够大的正实数${\displaystyle x}$，对任意正实数^{[註 3]} ${\displaystyle pnum={\frac {1}{\epsilon }}>0}$，有

${\displaystyle |\mu (x)|<\epsilon ={\frac {1}{pnum}}}$。

然后我们把正实数${\displaystyle \epsilon }$换成正实数多项式函数${\displaystyle \epsilon (x)}$。^{[註 4]}

（可忽略函数） 一个连续函数${\displaystyle \mu (x)}$可忽略，当对任意足够大的正实数${\displaystyle x}$，对任意正多项式${\displaystyle poly(x)={\frac {1}{\epsilon (x)}}>0}$，有

${\displaystyle |\mu (x)|<\epsilon (x)={\frac {1}{poly(x)}}}$。

在基于計算複雜性理論的现代密码学中，一个安全技术是数学上可证明安全（provably secure）的意思通常是，此安全技术的失败^{[註 5]}的概率是关于密钥长度${\displaystyle x=n}$的一个可忽略函数（参见公钥密码学）。因为密钥长度${\displaystyle n}$肯定是自然数，这就是为什么开篇的定义把定义域改为自然数域的原因。^{[註 6]}

• Goldreich, Oded. Foundations of Cryptography: Volume 1, Basic Tools. Cambridge University Press. 2001 [2007-03-02]. ISBN 0-521-79172-3. （原始内容存档于2020-08-11）. 
• Sipser, Michael. Section 10.6.3: One-way functions. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing. 1997: 374–376. ISBN 0-534-94728-X. 
• Papadimitriou, Christos. Section 12.1: One-way functions. Computational Complexity 1st. Addison Wesley. 1993: 279–298. ISBN 0-201-53082-1. 
• Colombeau, Jean François. New Generalized Functions and Multiplication of Distributions. Mathematics Studies 84, North Holland. 1984. ISBN 0-444-86830-5. 
• Bellare, Mihir. A Note on Negligible Functions. Dept. of Computer Science & Engineering University of California at San Diego. 1997. CiteSeerX 10.1.1.43.7900 .