希爾伯特第十七問題

希爾伯特第十七問題，是希爾伯特的23個問題之一。假設${\displaystyle f(X_{1},\ldots ,X_{n})}$為實係數多項式，且對每個${\displaystyle (x_{1},\ldots x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$都有${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq 0}$，希爾伯特提出下述問題：是否可能將${\displaystyle f(X_{1},\ldots ,X_{n})}$表成實係數有理函數的平方和？

此問題首先由埃米爾·阿廷於1927年給出肯定回答，並開展了實封閉域的理論；此後也有就模型論觀點的相關研究，請參見下列文獻。

• E. Artin, Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. 5（1927）, pp. 100-115
• E. Artin and E. Schreier, Algebraische Konstruktion reeller Körper, Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. 5（1927）, pp.85-99
• G. L. Cherlin, Model Theoretic Algebra - Selected Topics（1976）, Lecture Notes in Mathematics No. 521, Springer ISBN 0-387-07696-4

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