Квадратнае ўраўненне

Квадра́тнае ўраўне́нне, або квадрато́вае раўна́нне^[1] — гэта ўраўненне выгляду

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$

дзе a, b, c — вызначаныя лікі, a ≠ 0, x — невядомая велічыня.

Лікі ${\displaystyle x_{1}}$ і ${\displaystyle x_{2}}$ ёсць каранямі квадратнага ўраўнення ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ тады і толькі тады, калі спраўджваюцца роўнасці (так званыя формулы Віета):

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\\x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}.\end{cases}}}$

Заўвага 1: тэарэма Віета застаецца справядліваю незалежна ад таго, якія гэтыя карані: рэчаісныя ці камплексныя.

Заўвага 2: у выпадку, калі квадратнае ўраўненне мае кратны корань ${\displaystyle x_{1}=x_{2},}$ формулы Віета прымаюць выгляд

${\displaystyle 2x_{1}=-{\frac {b}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}^{2}={\frac {c}{a}}.}$

Прыклад

Теарэмай Віета зручна карыстацца, калі каэфіцыенты квадратнага ўраўнення цэлыя, і старшы каэфіцыент a = 1. У такім выпадку, асабліва калі каэфіцыенты малыя, карані можна знайсці вусна, раскладаючы на множнікі свабодны каэфіцыент. Вось напрыклад, у нас ёсць ураўненне

${\displaystyle x^{2}-x-6=0}$

(a = 1, b = -1, c = -6).

Неабходна, каб задавальняліся роўнасці

${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=-6,}$

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=1.}$

Лік 6 мае сваімі дзельнікамі лікі 2 і 3. Адзін з каранёў — адмоўны, бо здабытак каранёў роўны -6. Падбіраючы лікі так, каб іх сума была роўнай 1, атрымліваем, што

карані — гэта лікі 3 і -2.

Дыскрымінатам квадратнага ўраўнення ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ называецца велічыня

${\displaystyle D=b^{2}-4ac.}$

• Калі D > 0, карані вылічваюць па формуле

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}.}$

• Калі D = 0, карані вылічваюць па формуле

${\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}.}$

• Калі D < 0, рэчаісных каранёў няма.

Заўвага: калі D < 0, існуюць два камплексныя карані, якія вылічваюцца па формуле

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}}{2a}},}$

дзе i — так званая ўяўная адзінка, якая азначаецца як лік, квадрат якога роўны -1:

${\displaystyle i^{2}=-1.}$

Прыклад

Разгледзім тое ж ураўненне

${\displaystyle x^{2}-x-6=0}$

(a = 1, b = -1, c = -6).

Вылічым дыскрымінант ${\displaystyle D=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)=25.}$

Падстаўляем значэнні ў формулы і атрымліваем:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-(-1)+{\sqrt {25}}}{2\cdot 1}}={\frac {1+5}{2}}=3,}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {-(-1)-{\sqrt {25}}}{2\cdot 1}}={\frac {1-5}{2}}=-2.}$