Дыскрымінант

Дыскрыміна́нт^[1] (лац.: discriminare — падзяляць, адрозніваць) або адро́знік^[2] мнагачлена — лікавая велічыня, якая дазваляе рабіць высновы пра від каранёў мнагачлена і іх узаемнае становішча. Так, для мнагачлена

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$

дыскрымінант (адрознік) вызначаюць як

${\displaystyle D(P)=a_{n}^{2n-2}\prod _{1\leq i<k\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{k})^{2},}$

дзе ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}$ − карані мнагачлена P(x) (г.зн. рашэнні ўраўнення P(x) = 0) з улікам іх кратнасцей.

Дыскрымінант мнагачлена роўны нулю, калі і толькі калі мнагачлен мае кратны корань.

Дыскрымінант (адрознік) алгебраічнага ураўнення P(x) = 0 вызначаюць як адрознік мнагачлена P(x).

Найбольш вядомы дыскрымінант (адрознік) квадратнага ўраўнення.

Карані квадратнага ўраўнення

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

з рэчаіснымі каэфіцыентамі a, b і c можна вылічыць па формуле

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Колькасць рэчаісных рашэнняў залежыць ад знака выразу пад коранем (так званага падкарэннага выразу).

Гэты выраз

${\displaystyle b^{2}-4ac}$

называюць дыскрымінантам квадратнага ўраўнення

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

і абазначаюць праз D.

• Калі D > 0, падкарэнны выраз дадатны, і таму формула дае два розныя рэчаісныя рашэнні ${\displaystyle x_{1}}$ і ${\displaystyle x_{2}}$.
• Калі D = 0, значэнне квадратнага кораня роўнае нулю, таму формула дае адно рэчаіснае значэнне (яно будзе двухкратным коранем ураўнення, або коранем кратнасці 2).
• Калі D < 0, квадратны корань з адмоўнага выразу не вызначан у полі рэчаісных лікаў ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Таму рэчаісных каранёў няма. Аднак становішча змяняецца, калі разглядаць рашэнні над полем камплексных лікаў; у гэтым выпадку маем два (не рэчаісныя) рашэнні, якія з'яўляюцца камплексна спалучанымі адзін да аднаго.

Заўвага. Як выразна відаць з вышэйсказанага, значэнне дыскрымінанта (адрозніка) дазваляе адрозніваць выпадкі становішча каранёў ураўнення, адсюль і назва.

Няхай ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}\in R[x]}$ − мнагачлен n-ай ступені ад адной зменнай над абсягам цэласнасці R (перастаўляльным колцам з адзінкай і без дзельнікаў нуля). Няхай K ёсць поле раскладання мнагачлена ${\displaystyle f}$ (г.зн. у гэтым полі мнагачлен ${\displaystyle f}$ раскладваецца на лінейныя множнікі).

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагачлена вызначаюць як^[1][3]

${\displaystyle D(f)=a_{n}^{2n-2}\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2},}$

дзе ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ − карані мнагачлена ${\displaystyle f}$, якія ляжаць у полі K.

Заўвага. Можна паказаць, што для любога мнагачлена над нейкім абсягам цэласнасці R існуе поле раскладання. Так, поле дзелей Q колца R з'яўляецца найменшым полем, якое змяшчае колца R. І ў якасці поля раскладання K можна ўзяць алгебраічнае замыканне поля Q.

Няхай поле K мае нулявую характарыстыку.

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагачлена ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$ над полем K можна вылічыць як рэзультант мнагачлена ${\displaystyle f}$ і яго вытворнай ${\displaystyle f'}$, падзелены на старшы каэфіцыент ${\displaystyle a_{n}}$:^[4]

${\displaystyle D(f)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(f,f').}$

Адсюль вынікае тоеснасць

${\displaystyle D(f)=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{n-2}\prod _{i=1}^{n}f'(\alpha _{i}).}$

Рэзультант мнагачлена ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$ і яго вытворнай ${\displaystyle f'(x)=na_{n}x^{n-1}+\dots +a_{1}}$ роўны вызначніку пэўнай (2n − 1)×(2n − 1)-матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра). Таму, калі поле K мае нулявую характарыстыку, з выразу адрозніка праз рэзультант вынікае формула:

${\displaystyle D(f)={\frac {(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}}{a_{n}}}\,\det {\begin{pmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}&0&\cdots &0\\0&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&0&0&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&0&0&\cdots &0\\0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&0\\0&0&0&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\\\end{pmatrix}}.}$

Пры вылічэнні вызначніка з першага слупка можна вынесці множнік ${\displaystyle a_{n}}$, які скароціцца.

• Адрознік квадратнага мнагачлена a x² + b x + c роўны

  ${\displaystyle D=b^{2}-4ac.}$

• Адрознік кубічнага мнагачлена a x³ + b x² + c x + d раўняецца^[3]

  ${\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.}$

• Адрознік мнагачлена чацвёртай ступені a₄ x⁴ + a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x + a₀ роўны

  ${\displaystyle D={\begin{vmatrix}1~&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\0~&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\0~&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\4~&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0&0\\0~&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0\\0~&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0\\0~&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\\end{vmatrix}}.}$

• Рэзультант
• Дыскрымінант поля

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
• Матэматычная энцыклапедыя. Гал. рэд. В. І. Бернік. Мн.: Тэхналогія, 2001.

• Weisstein, Eric W.. Polynomial Discriminant (нявызн.). MathWorld.