Няроўнасць Чабышова

Няроўнасць Чaбышова, таксама вядомая як няроўнасць Б’енэме-Чaбышова, — няроўнасць з тэорыі меры і тэорыі імавернасцей. Яна была ўпершыню сфармулявана Б’енэме ў 1853 годзе (праўда, без доказу), а пасля даказана Чабышовым. Няроўнасць, якая выкарыстоўваецца ў тэорыі меры, з’яўляецца больш агульнай чым тая, што выкарыстоўваецца ў тэорыі імавернасцей — у тэорыі імавернасцей выкарыстоўваецца яе вынік.

У тэорыі імавернасцей, няроўнасць Чaбышова гарантуе, што ў любым размеркаванні імавернасцей, «амаль усе» значэнні будуць блізкія да сярэдняга, больш дакладна, доля значэнняў, аддаленых ад сярэдняга больш чым на ${\displaystyle k}$ стандартных адхіленняў, не большая за ${\displaystyle 1/k^{2}}$. Інакш кажучы, няроўнасць дае ацэнку імавернасці таго, што выпадковая велічыня прыме значэнне, далёкае ад свайго сярэдняга. Няроўнасць Чaбышова з’яўляецца вынікам няроўнасці Маркава.

Няхай выпадковая велічыня ${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ вызначана на імавернаснай прасторы ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, а яе матэматычнае чаканне ${\displaystyle \mu }$ і дысперсія ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ канечныя. Тады

${\displaystyle \mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}},}$

дзе ${\displaystyle a>0.}$

Калі ${\displaystyle a=k\sigma }$, дзе ${\displaystyle \sigma }$ — стандартнае адхіленне і ${\displaystyle k>0,}$ тады атрымаем

${\displaystyle \mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}.}$

У прыватнасці, выпадковая велічыня з канечнай дысперсіяй адхіляецца ад сярэдняга больш, чым на ${\displaystyle 2}$ стандартныя адхіленні, з імавернасцю менш ${\displaystyle 25\%.}$ Яна ж адхіляецца ад сярэдняга на ${\displaystyle 3}$ стандартныя адхіленні з імавернасцю менш ${\displaystyle 11{,}2\,\%.}$ Іншымі словамі, у граніцах ${\displaystyle 2\sigma }$ (2-х стандартных адхіленняў) знаходзяцца па меншай меры ${\displaystyle {100}{-}{25}{=}{75\,\%}}$ значэнняў, а ў граніцах ${\displaystyle 3\sigma }$ знаходзяцца па меншай меры ${\displaystyle {100}{-}{11{,}2}{=}{88{,}8\,\%}}$ значэнняў.

Для найважнейшага выпадку аднамадальных размеркаванняў Няроўнасць Высачанскага — Пятуніна  (руск.) (бел. істотна ўзмацняе няроўнасць Чaбышова, уключаючы ў сябе дзель ${\displaystyle 4/9}$ і набліжае няроўнасць Чaбышова да правіла трох сігм (ужываецца для нармальнага размеркавання). Як вынік, размеркаванне змяняецца, і ў граніцах ${\displaystyle 3\sigma }$ знаходзяцца «амаль усе» (а дакладней, ${\displaystyle 95{,}06\,\%}$) значэнні выпадковай велічыні.

Раздзел артыкула яшчэ не напісаны. Паводле задумы аднаго з удзельнікаў Вікіпедыі, тут мусіць быць тэматычны раздзел. Вы можаце дапамагчы праекту, напісаўшы гэты раздзел.

• Няроўнасць Маркава

• Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В.  (руск.) (бел.. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

• На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Няроўнасць Чабышова
• Видеолекция о случайных величинах, неравенствах Маркова и Чебышёва(недаступная спасылка)