Імавернасная прастора

Тэорыя імавернасцей
Імавернасць Аксіёмы Выпадковасць[en]
Імавернасная прастора Геаметрычная імавернасць Прастора элементарных падзей Выпрабаванне Выпадковая падзея Поўная група падзей
Выпадковая велічыня Матэматычнае спадзяванне Дысперсія Размеркаванне імавернасцей Бернулі Біномнае Нармальнае Імавернасная мера[en]
Умоўная імавернасць Незалежнасць Тэарэма множання імавернасцей Формула поўнай імавернасці Тэарэма Баеса
Закон вялікіх лікаў Цэнтральная лімітавая тэарэма
Г Р П

У тэорыі імавернасцей імавернасная прастора або імавернасная тройка ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ — матэматычнае паняцце, якое забяспечвае фармальную мадэль выпадковага^[en] працэсу або «выпрабавання».

Імавернасная прастора складаецца з трох элементаў^[1]:12:

1. Прасторы элементарных падзей ${\displaystyle \Omega }$ — мноства ўсіх магчымых зыходаў выпрабавання.
2. Алгебры падзей ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, дзе падзеямі называюцца падмноствы ${\displaystyle \Omega }$.
3. Імавернаснай меры^[en] ${\displaystyle P}$, якая супастаўляе кожнай падзеі з ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ пэўную імавернасць (рэчаісны лік паміж 0 і 1).

Імавернасная прастора павінна адпавядаць аксіёмам тэорыі імавернасцей.

Пара ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ называецца вымернай прасторай^[en][1]:68.

Для прыкладу разгледзім выпрабаванне, якое палягае ў аднакратным падкіданні двух сіметрычных гульнявых кубікаў. У якасці элементарных падзей возьмем усе магчымыя сумы ачкоў, што выпалі на кубіках^[1]:20-21. Тады прастора элементарных падзей мае выгляд

$${\displaystyle \Omega =\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}.}$$

Значэнне імавернаснай меры для кожнай элементарнай падзеі ${\displaystyle \omega }$:

${\displaystyle \omega }$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
${\displaystyle P(\{\omega \})}$	${\displaystyle {\frac {1}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {4}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {6}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {4}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{36}}}$

Алгебрай падзей ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ будзе мноства ўсіх падмностваў ${\displaystyle \Omega }$. Імавернасць некаторай падзеі ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ зададзім згодна з прынцыпам адытыўнасці як суму імавернасцей усіх элементарных падзей, што ўваходзяць у ${\displaystyle A}$:

$${\displaystyle P(A)=P\left(\bigcup _{\omega \in A}\{\omega \}\right)=\sum _{\omega \in A}P({w}).}$$

Напрыклад падзею "сума ачкоў кратная 3" можна запісаць як ${\displaystyle A=\{3,6,9,12\}}$. Імавернасць такой падзеі роўная

$${\displaystyle P(A)=P(\{3,6,9,12\})=}$$ $${\displaystyle =P(\{3\})+P(\{6\})+P(\{9\})+P(\{12\})=}$$ $${\displaystyle ={\frac {2}{36}}+{\frac {5}{36}}+{\frac {4}{36}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{3}}.}$$

Няхай ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ і ${\displaystyle \Omega }$ мае канечны дадатны ${\displaystyle n}$-мерны аб'ём, які пазначым праз ${\displaystyle |\Omega |}$. Праз ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ пазначым некаторую σ-алгебру вымерных па Лебегу^[en] падмностваў ${\displaystyle \Omega }$. За імавернасць падзеі ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ прымаецца лік

$${\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}},}$$

дзе праз ${\displaystyle |A|}$ пазначаны ${\displaystyle n}$-мерны аб'ём (мера Лебега) мноства ${\displaystyle A}$.

Такая мадэль імавернаснай прасторы называецца геаметрычнай імавернасцю^[1]:24-25. Адпаведнасць геаметрычнай імавернасці аксіёмам неадмоўнасці, нармаванасці і злічонай адытыўнасці вынікае з прыведзенага вышэй азначэння імавернасці падзеі і ўласцівасцей меры Лебега. Геаметрычная імавернасць служыць мадэллю для задач, дзе часціца выпадкова кідаецца на мноства ${\displaystyle \Omega }$ і каардынаты падзення раўнамерна размеркаваныя па гэтым мностве.

Мадэль геаметрычнай імавернасці паказвае існаванне тэарэтычна магчымых падзей, імавернасць якіх роўна нулю. Такой падзеяй з'яўляецца напрыклад пападанне часціцы ў загадзя зададзены пункт, бо аб'ём аднапунктавага мноства роўны нулю.