Размеркаванне імавернасцей

Тэорыя імавернасцей
Імавернасць Аксіёмы Выпадковасць[en]
Імавернасная прастора Геаметрычная імавернасць Прастора элементарных падзей Выпрабаванне Выпадковая падзея Поўная група падзей
Выпадковая велічыня Матэматычнае спадзяванне Дысперсія Размеркаванне імавернасцей Бернулі Біномнае Нармальнае Імавернасная мера[en]
Умоўная імавернасць Незалежнасць Тэарэма множання імавернасцей Формула поўнай імавернасці Тэарэма Баеса
Закон вялікіх лікаў Цэнтральная лімітавая тэарэма
Г Р П

Размеркава́нне імаве́рнасцей — закон, які ставіць у адпаведнасць кожнаму інтэрвалу значэнняў імавернасць таго, што значэнне выпадковай велічыні патрапіць у гэты інтэрвал.

Размеркаванне імавернасцей — асобны выпадак больш агульнага паняцця імавернаснай меры^[en]: функцыі, якая ставіць у адпаведнасць вымерным мноствам з вымернай прасторы імавернасці згодна з аксіёмамі Калмагорава.

Размеркаваннем выпадковай велічыні ${\displaystyle \xi \colon \Omega \to \mathbb {R} }$ называецца імавернасная мера ${\displaystyle P_{\xi }:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} }$, зададзеная на σ-алгебры ўсіх барэлеўскіх мностваў^[en] ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} }$ з дапамогай роўнасці^[1]:70 ${\displaystyle P_{\xi }(B):=P(\xi \in B)=P(\xi ^{-1}(B)).}$

Існуе таксама абагульненне гэтага азначэння на многавымерныя выпадковыя велічыні.

Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя ${\displaystyle F_{\xi }:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, якая вызначаецца праз роўнасць ${\displaystyle F_{\xi }(x):=P(\xi <x),\forall x\in \mathbb {R} .}$

Кожная функцыя размеркавання адпавядае толькі аднаму размеркаванню і наадварот, кожнае размеркаванне адназначна задае функцыю размеркавання^[1]:70-71.

Размеркаванні імавернасцей падзяляюцца паводле характарыстык іх функцый размеркавання на дыскрэтныя, абсалютна непарыўныя, сінгулярныя і змешаныя^[1]:77-78.

Размеркаванне выпадковай велічыні завецца дыскрэтным, калі яна прымае канечную або злічоную колькасць значэнняў.

Для дыскрэтнага размеркавання існуе так званая функцыя імавернасці ${\displaystyle p_{\xi }}$, якая ставіць у адпаведнасць кожнаму значэнню ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ імавернасць таго, што выпадковая велічыня ${\displaystyle \xi }$ прыме гэтае значэнне: $${\displaystyle p_{\xi }(x)=P(\xi =x)}$$

Калі колькасць значэнняў невялікая, дыскрэтнае размеркаванне можна задаць з дапамогай табліцы

Значэнні ${\displaystyle \xi }$	${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle x_{n}}$	${\displaystyle \dots }$
${\displaystyle P(\xi =x_{k})}$	${\displaystyle p_{1}}$	${\displaystyle p_{2}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle p_{n}}$	${\displaystyle \dots }$

, дзе ${\displaystyle p_{k}>0}$ і ${\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1}$.

Функцыя размеркавання мае выгляд ${\displaystyle F_{\xi }(x)=P(\xi <x)=\sum _{k:x_{k}<x}p_{k}}$.

Прыклады дыскрэтных размеркаванняў:

• Звыроднае размеркаванне
• Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне
• Размеркаванне Бэрнулі
• Біномнае размеркаванне
• Размеркаванне Пуасона
• Геаметрычнае размеркаванне
• Адмоўнае біномнае размеркаванне
• Гіпергеаметрычнае размеркаванне

Размеркаванне выпадковай велічыні завецца абсалютна непарыўным, калі існуе неадмоўная функцыя ${\displaystyle f_{\xi }:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, для якой ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f_{\xi }(t)dt=1}$ і для кожнага барэлеўскага мноства ${\displaystyle B\in \mathbb {R} }$ праўдзіцца ${\displaystyle P(\xi \in B)=\int _{B}f_{\xi }(t)dt}$. Такая функцыя ${\displaystyle f_{\xi }}$ завецца шчыльнасцю імавернасці выпадковай велічыні ${\displaystyle \xi }$.

Для абсалютна непарыўных размеркаванняў функцыя размеркавання мае выгляд ${\displaystyle F_{\xi }(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{\xi }(t)dt}$. Пры гэтым амаль усюды^[en] мае месца роўнасць ${\displaystyle F_{\xi }'(x)=f_{\xi }(x)}$, то бок шчыльнасць імавернасці ёсць вытворная ад функцыі размеркавання.

Прыклады абсалютна непарыўных размеркаванняў:

• Раўнамернае непарыўнае размеркаванне
• Нармальнае размеркаванне
• Гама-размеркаванне
• Размеркаванне Эрланга
• Размеркаванне Кашы

Сінгулярным называецца размеркаванне, функцыя размеркавання ${\displaystyle F}$ якога непарыўная, але яе пункты росту маюць лебегаву меру^[en] нуль. Такім чынам, вытворная функцыі ${\displaystyle F}$ амаль усюды роўная нулю. Прыклад такой функцыі — функцыя Кантара^[en].

Змешанымі завуцца размеркаванні, якія не адносяцца ні да дыскрэтных, ні да непарыўных, ні да сінгулярных размеркаванняў. Іх функцыі размеркавання заўсёды можна прадставіць як выпуклую камбінацыю^[en] дыскрэтнай, непарыўнай і сінгулярнай функцыі размеркавання^[1]:80:

$${\displaystyle F(x)=a_{1}F_{1}(x)+a_{2}F_{2}(x)+a_{3}F_{3}(x),}$$ дзе ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\in [0,1]}$, ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}=1}$, ${\displaystyle F_{1}}$ — дыскрэтная, ${\displaystyle F_{2}}$ — абсалютна непарыўная, ${\displaystyle F_{3}}$ — сінгулярная функцыі размеркавання.

• Сінгулярнае размеркаванне
• Умоўнае размеркаванне імавернасцей

• Размеркаванне імавернасцей // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 13: Праміле — Рэлаксін / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2001. — Т. 13. С. 261.