Пераход між сістэмамі злічэння

Для паляпшэння артыкула пажадана Знайсці і дадаць спасылкі на аўтарытэтныя крыніцы, якія пацвярджаюць напісанае

Перахо́д між сістэ́мамі злічэ́ння − перавод ліку з адной сістэмы злічэння ў іншую. Патрэба ў пераходзе да іншай сістэмы злічэння можа ўзнікнуць пры выкананні арыфметычных дзеянняў з лікамі, запісанымі ў розных сістэмах злічэння. Класічны прыклад – перавод ліку з дзесятковай сістэмы ў двайковую, або наадварот.

Калі адначасова ўжываюцца адразу некалькі сістэм злічэння, то, каб пазбегнуць неадназначнасцей, у запісе ліку ніжнім індэксам пазначаюць аснову сістэмы, у якой ён запісан. Напрыклад, ${\displaystyle 56_{8}}$ абазначае «васьмерковы лік 56».

Разгледзім пазіцыйную сістэму злічэння з асновай B (B-ковую сістэму). Лік A, які ў гэтай сістэме запісваецца як ${\displaystyle {\overline {d_{n-1}\dots d_{1}d_{0}}}}$ (дзе ${\displaystyle d_{i}}$ – лічба B-ковай сістэмы), роўны

${\displaystyle A={\overline {d_{n-1}\dots d_{1}d_{0}}}_{B}=d_{n-1}B^{n-1}+d_{n-2}B^{n-2}+...+d_{2}B^{2}+d_{1}B+d_{0}}$

Можна заўважыць, што ўсе складнікі ў выразе справа дзеляцца на B, акрамя ${\displaystyle d_{0}.}$ Гэта значыць, што пры дзяленні A на B з астачай астача раўняецца ${\displaystyle d_{0}}$ (улічваючы, што ${\displaystyle d_{i}<B}$). У той жа час, няпоўная дзель A на B (або цэлая частка звычайнай дзелі) раўняецца

${\displaystyle \left[{\frac {d_{n-1}B^{n-1}+d_{n-1}B^{n-2}+\dots +d_{2}B^{2}+d_{1}B+d_{0}}{B}}\right]=d_{n-1}B^{n-2}+d_{n-2}B^{n-3}+\dots +d_{2}B+d_{1}={\overline {d_{n-1}d_{n-2}\dots d_{2}d_{1}}}_{B}}$

Мы атрымалі новы B-ковы лік, і яго апошняя лічба (паводле гэткай жа логікі) ёсць астачай ад яго дзялення на B. У той жа час, гэтая лічба ёсць перадапошняю лічбай ліку A (у B-ковым прадстаўленні). Такім чынам, паслядоўна дзелячы A (а потым вынік ад дзялення) на B, мы будзем паслядоўна атрымліваць у астачы ўсе лічбы B-ковага ліка A, ад наймалодшай да найстарэйшай.

У выніку маем наступны алгарытм пераводу ліку з дзесятковай сістэмы ў B-ковую:

1) У якасці ліку X узяць лік A

2) падзяліць лік X на B.

3) Астачу ад дзялення запісаць злева ад ужо атрыманых лічбаў ліку. (Калі папярэдніх лічбаў яшчэ няма, проста запісаць гэту лічбу.)

4) У якасці ліку X узяць няпоўную дзель X на B.

5) Калі X не роўны нулю, перайсці на крок 2.

Напрыклад,

Перавесці лік 345 у трайковую сістэму злічэння

Такім чынам, ${\displaystyle 345_{10}=110210_{3}}$.

Алгарытм пераводу ліку з B-ковай сістэмы ў дзесятковую заключаецца ў выкананні адваротных дзеянняў у адваротным парадку:

1) Прысвоіць ліку X значэнне 0

2) Прыбавіць к ліку X найстарэйшую (самую левую) лічбу ліку

3) Дамножыць X на B.

4) Дадаць да X наступную (другую злева) лічбу B-ковага ліку

5) Дамножыць X на B.

6) Працягваць паслядоўна дадаваць лічбы да выніку і дамнажаць яго на B, паступова пераходзячы злева направа ад старэйшых разрадаў да малодшых. Тое, што атрымаецца пасля прыбаўлення самай малодшай лічбы, і будзе дзесятковым запісам ліку.

Напрыклад,

Перавесці лік 11010011101₂ з двайковай сістэмы злічэння ў дзесятковую

Такім чынам, 11010011101₂ = 1693₁₀ .

У асобных выпадках пераход між сістэмамі злічэння можа быць прасцейшым. Так, пры пераходзе між двайковай і шаснаццатковай сістэмамі дастаткова замяніць кожны шаснаццатковы разрад камбінацыяй з чатырох двайковых разрадаў (або наадварот).