Формула Рыдберга

Формула Рыдберга — эмпірычная формула, якая апісвае даўжыні хваль у спектрах выпраменьвання атамаў хімічных элементаў. Прапанавана шведскім навукоўцам Ёханесам Рыдбергам і прадстаўлена 5 лістапада 1888 года.

Формула Рыдберга для вадародападобных элементаў выглядае наступным чынам:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=RZ^{2}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right),}$

дзе

${\displaystyle \lambda \!}$ — даўжыня хвалі святла у вакууме;

${\displaystyle R\!}$ — пастаянная Рыдберга для хімічнага элемента, які разглядаецца;

${\displaystyle Z\!}$ — атамны нумар, або лік пратонаў у ядры атама дадзенага элемента;

${\displaystyle n_{1}\!}$ і ${\displaystyle n_{2}\!}$ — целыя лікі, такія што ${\displaystyle n_{1}<n_{2}\!}$.

У 1880-х гадах, Рыдберг працаваў над формулай, якая апісвала б узаемасувязь паміж даўжынямі хваль у спектрах шчолачных металаў. Ён заўважыў, што лініі ўтвараюць серыі, і ён выявіў, што можа паменшыць працаёмкасць сваіх разлікаў, выкарыстоўваючы хвалевы лік (велічыня, роўная 1/λ, адваротная даўжыні хвалі) у якасці адзінкі вымярэння. Ён запісаў хвалевыя лікі (n) паслядоўных ліній у кожнай серыі насупраць размешчаных паралельна ў адпаведным парадку цэлых лікаў, якія прадстаўлялі сабой парадак лініі ў дадзенай канкрэтнай серыі. Выявіўшы, што атрыманыя крывыя мелі падобныя формы, ён знайшоў адзіную функцыю, якая апісвае ўсе гэтыя крывыя, пры падстаноўцы ў яе адпаведных канстант.

Спачатку ён праверыў формулу: ${\displaystyle \scriptstyle n=n_{0}-{\frac {C_{0}}{m+m'}}}$, дзе n — гэта хвалевы лік лініі, n₀ — мяжа серыі, m — парадкавы нумар лініі ў серыі (канстанта, розная для розных серый) і C₀ — універсальная канстанта. Гэтая формула не працавала дастаткова добра.

Рыдберг праверыў: ${\displaystyle \scriptstyle n=n_{0}-{\frac {C_{0}}{(m+m')^{2}}}}$, калі яму стала вядомая формула Бальмера для спектра атама вадароду ${\displaystyle \scriptstyle \lambda ={hm^{2} \over m^{2}-4}}$. у гэтай формуле, m — целы, і h — канстанта.

Рыдберг, аднак, перапісаў формулу Бальмера, выкарыстоўваючы абазначэнні хвалевых лікаў, у наступным выглядзе ${\displaystyle \scriptstyle n=n_{0}-{4n_{0} \over m^{2}}}$.

Гэта падказала, што формула Бальмера для вадароду можа з’яўляцца асобным выпадкам пры ${\displaystyle \scriptstyle m'=0\!}$ і ${\displaystyle \scriptstyle C_{0}=4n_{0}\!}$ , дзе ${\displaystyle \scriptstyle n_{0}={\frac {1}{h}}}$ адваротная канстанце Бальмера.

Велічыня C_o, як аказалася, была ўніверсальнай канстантай, агульнай для ўсіх элементаў, роўнай 4/h. Гэтая канстанта зараз вядомая як пастаянная Рыдберга, і m' вядомая як квантавы дэфект.

Як падкрэсліў Нільс Бор^[1], выраз вынікаў праз хвалевыя лікі, а не праз даўжыні хваль, быў ключом да адкрыцця Рыдберга. Фундаментальная роля хвалевых лікаў была асабліва падкрэслена адкрыццём камбінацыйнага прынцыпу Рыдберга—Рытца^[en] ў 1908 годзе. Фундаментальная прычына гэтага ляжыць у вобласці квантавай механікі.

Хвалевыя лікі светлавых хваль прапарцыянальныя частаце ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {f}{c}}}$, і таму таксама прапарцыянальныя энергіі квантаў святла E. Гэта значыць, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {E}{hc}}}$. Сучаснае разуменне заключаецца ў тым, што графікі Рыдберга былі спрошчанымі (валодалі невысокай ступенню адэкватнасці рэальным залежнасцям), бо адлюстроўвалі толькі простыя ўласцівасці ў паводзінах спектральных ліній ва ўмовах строга вызначаных (квантаваных) рознасцей энергій паміж электроннымі арбіталямі ў атаме.

Класічны выраз Рыдберга (ад 1888) для формы спектральных серый не суправаджаўся фізічным тлумачэннем. Даквантавае тлумачэнне Рытца (1908) механізму «ўтварэння» спектральных серый заключалася ў тым, што электроны ў атаме паводзяць сябе як магніты, і што магніты могуць вагацца адносна атамнага ядра (па меншай меры часова), генеруючы электрамагнітнае выпраменьванне^[2]. Гэты феномен упершыню быў зразуметы Нільсам Борам ў 1913 годзе так, як ён уключаны ў Бораўскую мадэль атама.

У тэорыі атама вадароду па Бору цэлыя лікі Рыдберга (і Бальмера) n адпавядаюць электронным арбіталям на розных строга вызначаных адлегласцях ад атама. Таму частата (або спектральная энергія), атрыманая пры пераходзе з n₁ на n₂, прадстаўляе сабой энергію фатона, выпрамененага ці паглынутага, калі электрон «пераскоквае» з арбіталі 1 на арбіталь 2.

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R_{\infty }\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right),}$

дзе

${\displaystyle \lambda \!}$ — даўжыня хвалі электрамагнітнага выпраменьвання, выпрамененага ў вакуум,

${\displaystyle R_{\infty }\!}$ — пастаянная Рыдберга,

${\displaystyle n_{1}\!}$ и ${\displaystyle n_{2}\!}$ — цэлыя лікі, такія што ${\displaystyle n_{1}<n_{2}\!}$.

Прымаючы ${\displaystyle n_{1}}$ роўным 1, і мяркуючы, што ${\displaystyle n_{2}}$ можа прымаць цэлыя значэнні ад 2 да бесканечнасці, атрымліваем спектральныя лініі, вядомыя як серыя Лаймана, ніжняя мяжа даўжынь хваль якіх імкнецца да 91 нм. Аналагічна атрымаем і іншыя серыі:

Формула для атама вадароду, прыведзеная вышэй, можа быць дапоўнена для прымянення да любых вадародападобных атамаў:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=RZ^{2}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right),}$

дзе

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {vac} }\!}$ — даўжыня хвалі святла, выпушчанага ў вакуум;

${\displaystyle R\!}$ — пастаянная Рыдберга для дадзенага хімічнага элемента;

${\displaystyle Z\!}$ — парадкавы нумар элемента ў перыядычнай табліцы, гэта значыць, колькасць пратонаў у атамных ядрах дадзенага элемента;

${\displaystyle n_{1}\!}$ і ${\displaystyle n_{2}\!}$ — цэлыя лікі, такія што ${\displaystyle n_{1}<n_{2}\!}$.

Важна заўважыць, што гэтая формула падыходзіць толькі для вадародападобных атамаў, гэта значыць для такіх атамаў, якія ўтрымліваюць у электроннай абалонцы адзін і толькі адзін электрон. Да такіх атамаў адносяцца, напрыклад, He⁺, Li²⁺, Be³⁺ і г. д.

Формула Рыдберга дазваляе атрымліваць карэктныя значэнні даўжынь хваль для аддаленых электронаў, калі эфектыўны зарад ядра можна лічыць такім жа як і ў вадароду, калі ўсе, акрамя аднаго, зарады ў ядры экранаваныя іншымі электронамі, і цэнтр атама мае эфектыўны дадатны зарад, роўны +1.

Пры пэўнай змене (замене Z на Z-1, і выкарыстанні цэлых лікаў 1 і 2 для n, якія даюць лікавае значэнне ³⁄₄ для рознасці іх адваротных квадратаў (у формуле вышэй)), формула Рыдберга дае карэктныя вынікі ў спецыяльным выпадку K-альфа ліній, падобныя пераходы з’яўляюцца K-альфа пераходам электрона з арбіталі 1s на арбіталь 2p. Гэта аналагічна пераходу, які адпавядае Лаймана-альфа лініі для вадароду, і мае той жа самы частотны фактар. Паколькі 2p-электрон не экранаваны ад ядра ў атаме ніякімі іншымі электронамі, то зарад ядра аслаблены адзіным 1s-электронам, які застаецца, вымушаючы атам быць фактычна вадародаподабным атамам, але з аслабленым зарадам Z-1. Яго частата, такім чынам, з’яўляецца частатой Лайман-альфа вадароду, узрастаючы, дзякуючы велічыні (Z-1)². Гэтая формула f = c/λ = (Лайман-альфа частата) ⋅ (Z-1)² гістарычна вядомы як закон Мозлі (дадаючы велічыню c для замены ў формуле даўжыні хвалі на частату), і можа быць выкарыстана для прадказанні даўжынь хваль K_α (K-альфа) рэнтгенаўскіх прамянёў у спектрах выпраменьвання хімічных элементаў ад алюмінія да золата. Даведацца аб гістарычнай важнасці гэтага закона можна, азнаёміўшыся з біяграфіяй Генры Мозлі. Гэты закон быў атрыманы эмпірычна прыкладна ў той жа час, калі была створана Бораўская мадэль атама.

Для іншых спектральных пераходаў у шмат-электронных атамах, формула Рыдберга дае некарэктныя вынікі, паколькі велічыня экранавання ўнутраных электронаў для пераходаў знешніх электронаў вар’іруецца, і няма магчымасці зрабіць у формуле падобную простую «кампенсавальную» «аслабленне дзеяння зарада ядра» папраўку, як паказана вышэй.

• Пастаянная Рыдберга
• Бораўская мадэль атама