剰余の定理

多項式に関する剰余の定理（じょうよのていり、英: polynomial remainder theorem）は、多項式 f (x) をモニック多項式な（つまり最高次の係数が1である）二項一次多項式 x − a で割ったときの剰余は f (a) であるという定理。とくに、f (a) = 0 ならば f (x) が x − a を因数にもつことが分かる（因数定理）。

多項式 f (x) を d(x) で割るとき、次式を満たす多項式 q(x), r(x) が一意に存在する：

${\displaystyle f(x)=q(x)d(x)+r(x)\quad }$ ここで ${\displaystyle \deg r<\deg d}$

これを多項式における除法の原理といい、このときの q(x) を商、r(x) を剰余と呼ぶ。また、d(x) を除数または除多項式、f (x) を被除数または被除多項式と呼ぶこともある。deg(r) < deg(d) は、多項式 r(x) の次数が d(x) の次数より小さいことを表している（一意性のための条件）。

除多項式がモニックな二項一次式 d(x) = x − a であるとき、次数についての条件 deg(r) < deg(d) は剰余 r(x) が x に関係しないある定数 r であることを意味する。すなわち f(x) は

${\displaystyle f(x)=q(x)(x-a)+r}$

と分解され、さらに x = a とおけば x − a = 0 なので f (a) = r であることが分かる。

同様に、除多項式 d(x) がモニックとは限らない二項一次式 ax + b であれば

${\displaystyle f(x)=q(x)(ax+b)+r}$

となる多項式 q(x) と定数 r が一意に定まる。ax + b = 0 となる x, つまり x = −b/a を代入すれば r = f (−b/a) を得る。

• 除法
• 因数定理
• 中国の剰余定理

• 『剰余の定理：やさしい例題・証明・むずかしい応用問題まで』 - 高校数学の美しい物語

表 話 編 歴 多項式
元数	多変数
次数	多項式 零多項式 定数多項式 斉次多項式 函数 次数不確定 (or −∞)（零函数） 零次（非零定数函数） 一次 二次 三次 四次 五次 方程式 一次 二次 三次 四次 五次 六次 七次 八次
項数	零項 定数項 単項 二項 三項 無限変数（フランス語版） 座標に依らない記述（英語版）
係数条件	容量 1（原始的） 主係数 1（モニック）
アルゴリズム	因数分解 最大公約式（英語版） 除法（英語版） ホーナー法 終結式 判別式 グレブナー基底
関連項目	代数方程式 多項式の根 重根 (多項式) 根と係数の関係 剰余の定理 因数定理 多項式の展開 多項定理 二項定理 整式 解の公式 二次方程式の解の公式 陰計算
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