六次方程式

六次方程式（ろくじほうていしき、英語: sextic equation）とは、次数が6であるような代数方程式のこと。

概要

一般に一変数の六次方程式は

a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{6}\neq 0)

の形で表現される。

五次以上の一般の方程式に対する代数的解法は存在しない。すなわち、一般の五次方程式に対して代数的な根の公式は存在しない。これはルフィニ、アーベルらによって示された（アーベル–ルフィニの定理参照）。これは六次方程式にも当てはまるので、一般の六次方程式に対して代数的な根の公式は存在しない。またガロアによって方程式が代数的に解ける条件が裏付けられている^[1]（ガロア理論参照）。

なお、代数的ではないが、楕円関数などを用いた根の公式は存在する。

解法

一部の六次方程式は、カンペドフェリエの超幾何関数（英語版）（2変数の一般化された超幾何関数）で解くことができる^[2]。

チルンハウス変換

チルンハウス変換などにより以下の式となる^[3]。

x^{6}+x^{2}+ax+b=0

ガロア群

6次対称群の部分群のうち，可移である15個の共役類について，交換子群の列を示す^[4]^[5]。この内12個が可解群である。

$S 6$ 6次対称群（位数 720） ${\mathfrak {S}}_{6}$
$A 6$ 6次交代群（位数 360） ${\mathfrak {A}}_{6}$
正規化群 $N_{{\mathfrak {S}}_{6}}(S_{3})$
$C 6$ 6次巡回群

など

6次対称群の部分群^[6]

G_f	S₆	A₆	H₁₂₀	G₇₂	Γ₆₀	G₄₈	Γ₃₆	G₃₆	Γ₂₄	G₂₄	H₂₄	G₁₈	Γ₁₂	G₁₂	C₆	H₆
位数	720	360	120	72	60	48	36	36	24	24	24	18	12	12	6	6

脚注

[脚注の使い方]

^ Weisstein, Eric W.. “Sextic Equation” (英語). mathworld.wolfram.com. 2023年7月14日閲覧。
^ Mathworld - Sextic Equation
^ Solving the sextic equation using univariate analytic functions and arithmetic operations
^ 部分群の計算法
^ 2014年度藏野研究室卒業論文「S6の部分群の分類」
^ Solving Solvable Quartic, Quintic and Sextic Equations

参考文献

Coble, A. B. "The Reduction of the Sextic Equation to the Valentiner Form--Problem." Math. Ann. 70, 337-350, 1911a.
Coble, A. B. "An Application of Moore's Cross-Ratio Group to the Solution of the Sextic Equation." Trans. Amer. Math. Soc. 12, 311-325, 1911b.
Cole, F. N. "A Contribution to the Theory of the General Equation of the Sixth Degree." Amer. J. Math. 8, 265-286, 1886.
Y. Mochimaru, New way for a two-parameter canonical form of sextic equations and its Solvable cases, Int. J. Pure and Applied Math., 18 (2005), 215-224.
Mochimaru, Yoshihiro. SOLUTION OF SEXTIC EQUATIONS. International Journal of Pure and Applied Mathematics - Volume. 23 (2005), 575-583.