重根 (多項式)

重根（じゅうこん、英: multiple root）とは、1変数多項式 ${\displaystyle f(x)}$ の根のうち重複度が2以上のもののことをいう。

1 変数多項式 ${\displaystyle f(x)}$ が、定数 ${\displaystyle a(\neq 0)}$, ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$, …, ${\displaystyle \alpha _{n}}$を用いて

${\displaystyle f(x)=a(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})}$

の形に因数分解され、${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$, …, ${\displaystyle \alpha _{n}}$ の中に 2 つ以上同じ値がある場合、その値を ${\displaystyle f(x)}$ の重根という。

方程式 ${\displaystyle f(x)=0}$ の解は一般に

${\displaystyle {\begin{cases}y=f(x)\\y=0\end{cases}}}$

つまり xy-座標系において ${\displaystyle y=f(x)}$ と x 軸との交点の x 座標である。${\displaystyle f(x)}$ が1変数多項式のとき、${\displaystyle y=f(x)}$ が ${\displaystyle x=\alpha }$ で x 軸に接するなら、${\displaystyle \alpha }$は ${\displaystyle f(x)}$ の重根となる。

したがって ${\displaystyle f(x)}$ は ${\displaystyle x=\alpha }$ における微分も 0 となり、 ${\displaystyle x=\alpha }$ が ${\displaystyle f(x)}$ の重根であることと

${\displaystyle f(\alpha )=f'(\alpha )=0}$

であることは同値である。

体 K 上の多項式 ${\displaystyle f(x)}$ と K の元 ${\displaystyle \alpha }$に対し、${\displaystyle (x-\alpha )^{2}\mid f(x)}$ が成立するとき、すなわち 2 以上の自然数 ${\displaystyle k}$ と多項式 ${\displaystyle g(x)}$ で

${\displaystyle f(x)=(x-\alpha )^{k}g(x)}$

を満たすものが存在するとき、${\displaystyle \alpha }$ を ${\displaystyle f(x)}$ の重根という。特に ${\displaystyle g(x)}$ が ${\displaystyle \alpha }$ を根に持たないならば、${\displaystyle k}$ を根 ${\displaystyle \alpha }$ の重複度（ちょうふくど、multiplicity）という。

多項式 ${\displaystyle f(x)}$ の根を ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$, …, ${\displaystyle \alpha _{n}}$ とし、その全体から作られる最簡交代式（差積）の平方

${\displaystyle D_{f}:=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$

を多項式 ${\displaystyle f(x)}$ あるいは方程式 ${\displaystyle f(x)=0}$ の判別式（はんべつしき、discriminant）という。

これは「代数方程式が重根を持つかどうか」 を判別するための式である。すなわち、判別式が ${\displaystyle 0}$ であることとその代数方程式が重根を持つこととが同値となる。このことは判別式を差積に取り替えても変わらない。にもかかわらず差積の平方を判別式とするのは、それが方程式の係数によって必ず記述できるからである。

これは、

1. 差積の平方が根に関する対称式となること
2. 対称式が基本対称式で表すことができること
3. 根の基本対称式が方程式の係数によって記述されること（根と係数の関係）

によって保証される。

たとえば、二次方程式 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$（${\displaystyle a\neq 0}$） の根を ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ とすると、根と係数の関係により

${\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}},}$

${\displaystyle \alpha \beta ={\frac {c}{a}}}$

が成り立ち、判別式すなわち差積の二乗は

${\displaystyle (\alpha -\beta )^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-4\alpha \beta =\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4\times {\frac {c}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}$

となる。${\displaystyle a\neq 0}$より${\displaystyle a^{2}>0}$ であるので、実用上は分母を掃った ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ を判別式として用いることが多い。

• 零点

表 話 編 歴 多項式
元数	多変数
次数	多項式 零多項式 定数多項式 斉次多項式 函数 次数不確定 (or −∞)（零函数） 零次（非零定数函数） 一次 二次 三次 四次 五次 方程式 一次 二次 三次 四次 五次 六次 七次 八次
項数	零項 定数項 単項 二項 三項 無限変数（フランス語版） 座標に依らない記述（英語版）
係数条件	容量 1（原始的） 主係数 1（モニック）
アルゴリズム	因数分解 最大公約式（英語版） 除法（英語版） ホーナー法 終結式 判別式 グレブナー基底
関連項目	代数方程式 多項式の根 重根 (多項式) 根と係数の関係 剰余の定理 因数定理 多項式の展開 多項定理 二項定理 整式 解の公式 二次方程式の解の公式 陰計算
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