数学 あるいは物理学 においてドット積 （ドットせき、英 : dot product ）あるいは点乗積 （てんじょうせき）とは、ベクトル 演算の一種で、2つの同じ長さの数列から一つの数値を返す演算。代数的および幾何的に定義されている。幾何的定義では、（デカルト座標 の入った）ユークリッド空間
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
内積 のことである。
2つのベクトル a a 1 , a 2 , ..., a n b b 1 , b 2 , ..., b n [ 1]
a
⋅
b
=
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}
n 実 ユークリッド空間
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
有向線分 から位置の概念を取り除いたもの）a b a b
a
⋅
b
=
‖
a
‖
‖
b
‖
cos
θ
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}=\|{\boldsymbol {a}}\|\|{\boldsymbol {b}}\|\cos \theta }
と定めるとこれは一つの実数を定める。ただし θ はベクトルを有向線分と見なしたときに a b 成す角 であり、‖ · ‖ はベクトルの大きさ （対応する有向線分の長さ）である。これはすなわち、有向線分 b a 正射影 したものの大きさと a
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
ドット積 あるいは標準内積 という。
また一方で、ベクトルを a a x a y a z b b x b y b z 余弦定理 を用いることで
a
⋅
b
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}
が成り立つことが示される。ゆえにこちらを定義とすることもある。
ベクトルの自分自身とのドット積の（正の）平方根
‖
a
‖
:=
a
⋅
a
{\displaystyle \|{\boldsymbol {a}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {a}}}}}
をベクトルのノルム という。具体的にベクトルを a a x a y a z
‖
a
‖
=
a
x
2
+
a
y
2
+
a
z
2
{\displaystyle \|{\boldsymbol {a}}\|={\sqrt {a_{x}{}^{2}+a_{y}{}^{2}+a_{z}{}^{2}}}}
と書くことができる。これはベクトル a
ドット積とノルムを使えば、2つのベクトル a a x a y a z b b x b y b z
cos
θ
=
a
⋅
b
‖
a
‖
‖
b
‖
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
(
a
x
2
+
a
y
2
+
a
z
2
)
(
b
x
2
+
b
y
2
+
b
z
2
)
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}}{\|{\boldsymbol {a}}\|\|{\boldsymbol {b}}\|}}={\frac {a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}{\sqrt {\left(a_{x}{}^{2}+a_{y}{}^{2}+a_{z}{}^{2}\right)\left(b_{x}{}^{2}+b_{y}{}^{2}+b_{z}{}^{2}\right)}}}}
から求めることが可能である。逆にベクトルのなす角 をこの式で定義すれば、その角はベクトルを有向線分 と見なした場合のそれらの成す角そのものと一致する。
したがってドット積は（ノルムを通して）、通常のユークリッド空間における長さ、角度 に一致する計量を矛盾なく定めるものである。つまり、
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
ドット積とクロス積に関する
3
{\displaystyle 3}
2
{\displaystyle 2}
3
{\displaystyle 3}
スカラー
3
{\displaystyle {\boldsymbol {3}}}
重積 は，
a
⋅
(
b
×
c
)
=
b
⋅
(
c
×
a
)
=
c
⋅
(
a
×
b
)
.
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}
3
{\displaystyle 3}
デカルト座標系 になっているような行列の行列式である。これは
3
{\displaystyle 3}
6
{\displaystyle 6}
3
{\displaystyle 3}
3
{\displaystyle 3}
ベクトル
3
{\displaystyle {\boldsymbol {3}}}
重積 は，[ 1] [ 2]
a
×
(
b
×
c
)
=
(
a
⋅
c
)
b
−
(
a
⋅
b
)
c
.
{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\,\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,\mathbf {c} .}
ドット積について
a · a ≥ 0,a · a = 0 となることと a の成分がすべて零であることとが同値 である。a · b = b · a ,任意の実数 k , l に対し、(k a 1 + l a 2 ) · b = k (a 1 · b ) + l (a 2 · b ) なる性質が満たされる。ゆえにドット積は内積 の一種であり、ベクトルのノルムはノルム の一種である。
力学 において、物体に一定の力 F [N] が作用して、F と角度 θ だけずれた方向に物体が x [m] 移動したとき、なされた仕事 は Fx cos θ [N.m] となる。これは力と変位を幾何学的なベクトルと見なした場合のドット積である。
^ a b S. Lipschutz, M. Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1
^ M.R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines) (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7
