非心t分布

非心t分布（ひしんティーぶんぷ、英: noncentric t-distribution）とは、確率分布と統計学におけるスチューデントのt分布を一般化したものである。

非心な統計母数、例えば「 $X$ の上位10パーセント値」のようなものの信頼区間を標本データだけに基いて計算するのに有用である。

非心t分布の特徴

Z は分散 $1$ 、平均 0 の正規分布に従う確率変数、V は自由度 νのカイ二乗分布に従いかつ、Z と独立な確率変数、μは実定数としたときに、

T={\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu }}}

が従う分布のことを「自由度ν、非心パラメーターμの非心t分布」と呼ぶ。μ=0の場合はt分布そのものである。この非心t分布においては（非心F分布（英語版）等の他の多くの非心分布とは異なり）非心パラメータμは負の値であってもよい。

この非心t分布の累積分布関数は、以下の式で与えられる。^[1]

F_{\nu ,\mu }(x)={\begin{cases}{\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x),&{\mbox{if }}x\geq 0;\\1-{\tilde {F}}_{\nu ,-\mu }(x),&{\mbox{if }}x<0,\end{cases}}

ここで、

{\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)=\Phi (-\mu )+{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }\left[p_{j}I_{y}\left(j+{\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)+q_{j}I_{y}\left(j+1,{\frac {\nu }{2}}\right)\right],

I_{y}\,\!(a,b)

は、正則化された不完全ベータ関数,

y={\frac {x^{2}}{x^{2}+\nu }},

p_{j}={\frac {1}{j!}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},

q_{j}={\frac {\mu }{{\sqrt {2}}\Gamma (j+3/2)}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},

であり、Φ は標準正規分布の累積分布関数である。

他の表現として、以下の書き方もできる。

F_{v,\mu }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x\geq 0\\1-{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x<0\end{cases}}

ここで、Γ はガンマ関数、I は、正則化された不完全ベータ関数である。

この非心t分布の確率密度関数は^[2]

f(t)={\frac {\nu ^{\nu /2}e^{-\nu \mu ^{2}/2(t^{2}+\nu )}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu /2)2^{(\nu -1)/2}(t^{2}+\nu )^{(\nu +1)/2}}}

\times \int _{0}^{\infty }x^{\nu }\exp \left[-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\mu t}{\sqrt {t^{2}+\nu }}}\right)^{2}\right]\,dx

ここで $ν > 0$ である。この確率密度関数の定義域は実数である。

非心t分布の平均および分散は^[3]

\operatorname {E} \left[T\right]={\begin{cases}\mu {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}&\nu >1\\{\mbox{Does not exist}}&\nu \leq 1\end{cases}}

\operatorname {Var} \left[T\right]={\begin{cases}{\frac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2}&\nu >2\\{\mbox{Does not exist}}&\nu \leq 2\end{cases}}.

もしも $μ = 0$ の場合、非心t分布はt分布になる。

^ Lenth, Russell V (1989). “Algorithm AS 243: Cumulative Distribution Function of the Non-central t Distribution”. Journal of the Royal Statistical Society, Series C 38 (1): 185–189. JSTOR 2347693.
^ L. Scharf, Statistical Signal Processing, (Massachusetts: Addison-Wesley, 1991), p.177.
^ http://www.mathworks.com/access/helpdesk_r13/help/toolbox/stats/nctstat.html