가우스 법칙

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가우스 법칙(Gauss's law)은 폐곡면을 통과하는 전기 선속이 폐곡면 속의 알짜 전하량과 동일하다는 법칙이다. 맥스웰 방정식 가운데 하나다.

가우스 법칙은 미분 형태와 적분 형태가 있다. 두 형태는 발산 정리에 대등하다.

가우스 법칙의 적분 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi =\oint _{A}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =Q_{0}}$

여기서 ${\displaystyle \mathbf {D} }$는 변위장(전속밀도), ${\displaystyle d\mathbf {A} }$는 표면 A 위의 미소 면적을 나타내는 벡터 (그 지점의 접평면에서 바깥쪽을 향하는 법선 벡터), ${\displaystyle Q_{0}}$는 폐곡면 속의 알짜 자유 전하량이다. ${\displaystyle \oint _{A}}$는 표면 A전체에 대한 면적분이다.

가우스 법칙의 미분 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{0}}$

여기서 ${\displaystyle \nabla \cdot }$는 발산 연산자, ${\displaystyle \mathbf {D} }$는 변위장(전속밀도), ${\displaystyle \rho _{0}}$는 자유 전하 밀도다.

위 공식은 자유 전하에 대한 가우스 법칙이다. 즉, ${\displaystyle Q_{0}}$와 ${\displaystyle \rho _{0}}$는 매질 속의 분극 전하를 포함하지 않는다. 분극 전하를 포함한 모든 전하에 대한 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi =\oint _{A}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =Q/\epsilon _{0}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}}$.

여기서 ${\displaystyle Q}$는 알짜 전하 (분극 전하 포함), ${\displaystyle \rho }$는 전하 밀도 (분극 전하 포함)다. ${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {D} /\epsilon }$는 전기장이다. ${\displaystyle \epsilon _{0}}$는 진공의 유전율로, 기본 상수다.

${\displaystyle E={\sigma \over \epsilon _{0}}}$ (전도체 표면, σ는 단위면적당 전하량이다.)

${\displaystyle E={\lambda \over 2\pi \epsilon _{0}r}}$ (도선, λ은 단위길이당 전하량이고, r은 가우스 표면까지의 거리이다.)

${\displaystyle E={\sigma \over 2\epsilon _{0}}}$ (면)

${\displaystyle E={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{q \over r^{2}}}$ (구 껍질 또는 꽉찬 구에서, r≥R인 구의 표면)

${\displaystyle E=0}$ (구 껍질에서, r<R인 구의 표면)

${\displaystyle E=({q \over 4\pi \epsilon _{0}R^{3}})r}$ (꽉찬 구에서, r≤R인 구의 단위면적당 전하)

카를 프리드리히 가우스가 1835년에 발견하고, 1867년에 발표하였다.^[1]

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