보렐 부분군

대수군 이론에서, 보렐 부분군(Borel部分群, 영어: Borel subgroup)은 대수군의 극대 가해 부분군이다. 보렐 부분군을 포함하는 부분군을 포물형 부분군(抛物型部分群, 영어: parabolic subgroup)이라고 한다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K}$ 위의 (자리스키 위상에서) 연결 대수군 ${\displaystyle G\to \operatorname {Spec} K}$

${\displaystyle G}$의 보렐 부분군은 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있으며, 두 정의는 서로 동치이다.

${\displaystyle G}$의 부분군 가운데, 다음 세 조건들을 만족시키는 것들을 생각하자.

• 자리스키 위상에 대하여 닫힌집합이다.
• 자리스키 위상에 대하여 연결 공간이다.
• 군으로서 가해군이다.

이들은 포함 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 극대 원소를 보렐 부분군이라고 한다.^{[1]:190, Definition 7.4.1.1}

대수군 ${\displaystyle G}$의 부분 대수군 가운데, ${\displaystyle G}$의 어떤 보렐 부분군을 포함하는 것을 포물형 부분군(抛物型部分群, 영어: parabolic subgroup)이라고 한다.

${\displaystyle G}$의 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$ 가운데, 잉여류 공간 ${\displaystyle G/H}$가 ${\displaystyle K}$-완비 대수다양체를 이루는 것을 ${\displaystyle G}$의 포물형 부분군이라고 한다.

포물형 부분군들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 최소 원소를 보렐 부분군이라고 한다.

보렐 부분군은 켤레 아래 유일하다.^{[1]:190, Theorem 7.4.1.1} 즉, 대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle G}$ 위의 대수군 ${\displaystyle G}$의 임의의 두 보렐 부분군 ${\displaystyle H,H'\leq G}$가 주어졌을 때,

${\displaystyle H'=gHg^{-1}}$

가 되는 ${\displaystyle g\in G}$가 존재한다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 반단순 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 부분 리 대수 가운데, 가해 리 대수인 것들을 생각할 수 있다. 이들은 포함 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 보렐 부분 리 대수(영어: Borel subalgebra)라고 한다.

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$일 때, 유한 차원 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-반단순 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 및 그 보렐 부분 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$를 생각하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$를 리 군으로 갖는 임의의 대수적 리 군 ${\displaystyle G}$에 대하여, ${\displaystyle G}$의 보렐 부분군은 리 군이며, 그 리 대수는 ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$와 동형이다.

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 가해 연결 대수군 ${\displaystyle G}$의 유일한 보렐 부분군 및 유일한 포물형 부분군은 ${\displaystyle G}$ 자신이다. 이 경우 ${\displaystyle G/G\cong \operatorname {Spec} K}$는 자명하게 ${\displaystyle K}$-완비 대수다양체를 이룬다.

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 일반 선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;K)}$을 생각하자. 그 위의 가역 상삼각 행렬들의 부분군

${\displaystyle B=\left\{{\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}&\dotsm &m_{n,n-1}&m_{n,n}\\0&m_{22}&\dotsm &m_{2,n-1}&m_{2,n}\\\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots \\0&&&m_{n-1,n-1}&m_{n-1,n}\\0&0&\dotsm &0&m_{nn}\end{pmatrix}}\colon m_{i,j}\in K,\;m_{ii}\neq 0\forall i=1,\dotsc ,n\right\}\subseteq \operatorname {GL} (n;K)}$

은 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;K)}$의 보렐 부분군이다.

이 경우 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;K)/B}$는 기 대수다양체이다.

복소수체 위의 반단순 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$를 생각하자. 이 경우, 다음 데이터를 고를 수 있다.

• 카르탕 부분 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$
• 양근 집합 ${\displaystyle \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq \Delta ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$

그렇다면, 멱영 리 대수

${\displaystyle {\mathfrak {n}}=\bigoplus _{\alpha \in \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

를 정의할 수 있다. 이 경우 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}}$을 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 표준 보렐 부분 리 대수(標準Borel部分Lie代數, 영어: standard Borel subalgebra)라고 하며, 이는 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 보렐 부분 리 대수를 이룬다.

아르망 보렐이 도입하였다.^[2]

• “Borel subgroup”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Parabolic subgroup”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Parabolic subalgebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Borel subgroup”. 《nLab》 (영어). 
• “Parabolic subgroup”. 《nLab》 (영어).