Рамнодијагонален четириаголник

Во Евклидовата геометрија, рамнодијагонален или еквидијагонален четириаголник е испакнат четириаголник чии две дијагонали имаат еднаква должина. Рамнидијагоналните четириаголници биле важни во древната индиска математика, каде што четириаголниците прво биле класифицирани според тоа дали се рамнодијагонални, а потоа во повеќе специјализирани видови.^[1]

Во рамнодијагонални четириаголници спаѓаат рамнокраките трапези, правоаголниците и квадратите.

Помеѓу сите четириаголници, обликот што има најголем однос на неговиот обем и неговиот пречник е рамнодијагонален делтоид со агли π/3, 5π/12, 5π/6 и 5π/12.^[2]

Испакнат четириаголник е рамнодијагонален ако и само ако неговиот Варињонов паралелограм, паралелограмот образуван од средните точки на неговите страни, е ромб. Еквивалентен услов е бимедијаните на четириаголникот (дијагоналите на Варињоновиот паралелограм) да бидат нормални.^[3]

Испакнат четириаголник со дијагонални должини ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ и бимедијални должини ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ е рамнодијагонален ако и само ако:^{[4] :Prop.1}

${\displaystyle pq=m^{2}+n^{2}.}$

Плоштината K на рамнодијагонален четириаголник лесно може да се пресмета ако се знае должината на бимедијаните m и n. Четириаголникот е рамнодијагонален ако и само ако:^{[5] :p.19;[4] :Cor.4}

${\displaystyle \displaystyle K=mn.}$

Ова е непосредна последица на фактот дека плоштината на испакнатиот четириаголник е двапати поголема од плоштината на неговиот Варињонов паралелограм и дека дијагоналите во овој паралелограм се бимедијани на четириаголникот. Користејќи ги формулите за должините на бимедијаните, плоштината може да се изрази и во однос на страните a, b, c, d на рамнодијагоналниот четириаголник и растојанието x помеѓу средните точки на дијагоналите како:^[5]:p.19

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}.}$

Други формули за плоштина може да се добијат со поставување p = q во формулите за плоштина на испакнат четириаголник.

Паралелограмот е рамнодијагонален ако и само ако е правоаголник,^[6] а трапезот е рамнодијагонален ако и само ако е рамнокрак трапез. Тетивните рамнодијагонални четириаголници се токму рамнокракните трапези.

Постои двојство помеѓу рамнодијагоналните и ортодијаголните четириаголници: четириаголникот е рамностран ако и само ако неговиот Варињонов паралелограм е ортодијагонален (ромб), а четириаголникот е ортодијагонален ако и само ако неговиот Варињонов паралелограм е рамнодијагонален (правоаголник).^[3] Еквивалентно, четириаголник има еднакви дијагонали ако и само ако има нормални бимедијани, и има нормални дијагонали ако и само ако има еднакви бимедијани.^[7] Силвестер (2006) дава дополнителни врски помеѓу рамнодијагоналните и ортодијагоналните четириаголници, преку обопштување на Ван Обеповата теорема.^[8]

Четириаголниците кои се и ортодијагонални и рамнодијагонални, и кај кои дијагоналите се долги барем колку сите страни на четириаголникот, имаат максимална површина за нивниот дијаметар меѓу сите четириаголници, решавајќи го случајот n = 4 на најголемиот мал проблем со многуаголник . Квадратот е еден таков четириаголник, но има бескрајно многу други. Рамнодијагоналните, ортодијагонални четириаголници се нарекуваат средноквадратни четириаголници^{[4] :p. 137}бидејќи тие се единствените за кои Варињоновиот паралелограм (со темиња во средните точки на страните на четириаголникот) е квадрат. Таков четириаголник, со последователни страни a, b, c, d, има површина:^[4]:Thm.16

${\displaystyle K={\frac {1}{4}}\left(a^{2}+c^{2}+{\sqrt {4(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2})-(a^{2}+c^{2})^{2}}}\right).}$

Средноквадратен паралелограм е точно квадрат.

• 
  Пример на средноквадратен четириаголник
• 
  Средноквадратен трапез
• 
  Средноквадратен делтоид
• 
  „средноквадратен паралелограм“, квадрат

• A Van Aubel like property of an Equidiagonal Quadrilateral at Dynamic Geometry Sketches, interactive geometry sketches.