Дополнение узла

Дополнение узла — пространство, получающееся из шара вырезанием цилиндра, заузленного в форме этого узла.

Дополнение является важной конструкцией в теории узлов, связывающей её с трёхмерной топологией. Многие инварианты узлов, такие как группа узла, являются в действительности инвариантами их дополнений.

Дополнением ручного узла называют несколько тесно связанных между собой пространств. В простейшем случае имеется в виду теоретико-множественная разность ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\backslash K}$, где ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ — некоторый геометрический представитель данного узла.

Такое пространство обладает рядом недостатков^[1], и чаще рассматривают разность ${\displaystyle S^{3}\backslash K}$, где ${\displaystyle S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}}$ — одноточечная компактификация трёхмерного евклидова пространства, то есть трёхмерная сфера.

Наконец, для возможности привлечения различных алгебро-топологических и аналитических инструментов, требующих компактности, в литературе дополнением узла обычно называют множество

${\displaystyle X_{K}:=S^{3}\backslash U(K)}$,

где ${\displaystyle U(K)}$ — открытая трубчатая окрестность геометрического узла ${\displaystyle K}$^[2].

Аналогично определяются дополнения зацеплений.

Несмотря на своё определение, пространство ${\displaystyle X_{K}}$ может быть вложено в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, а именно, оно гомеоморфно пространству, получающемуся из шара вырезанием открытого цилиндра, заузленного в форме ${\displaystyle K}$.

Дополнение тривиального узла получается из шара вырезанием прямого цилиндра и гомеоморфно полноторию. Альтернативный взгляд на данный полноторий представлен на рисунке. Вместе с таким полноторием трубчатая окрестность тривиального узла образует простейшее разбиение Хегора трёхмерной сферы.

Внутренность дополнения узла трилистника гомеоморфна фактору вещественной специальной линейной группы по её дискретной подгруппе:

${\displaystyle {\rm {Int}}(X_{K})\cong {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {R} )/{\rm {SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$.

Эта внутренность также гомотопически эквивалентна конфигурационному пространству ${\displaystyle {\rm {UConf}}_{3}(\mathbb {R} ^{2})}$ трёхэлементных подмножеств плоскости, которое является шестимерным многообразием.

Пространство ${\displaystyle X_{K}}$ является связным, компактным, неприводимым трёхмерным многообразием. Его внутренность гомеоморфна пространству ${\displaystyle S^{3}\backslash K}$. Его край, в свою очередь, гомеоморфен тору, поскольку совпадает с краем замыкания трубчатой окрестности ${\displaystyle U(K)}$, гомеоморфного полноторию. В отличие от ${\displaystyle X_{K}}$, пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\backslash K}$ и ${\displaystyle S^{3}\backslash K}$ являются некомпактными трёхмерными многообразиями без края.

Дополнения узлов, а также зацеплений, являются многообразиями Хакена.

Фундаментальные группы пространств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\backslash K}$, ${\displaystyle S^{3}\backslash K}$ и ${\displaystyle X_{K}}$ изоморфны и называются группой узла. Первая группа гомологий дополнения узла является бесконечной циклической и, как и для любого пространства, изоморфна абелианизации его фундаментальной группы:

${\displaystyle H_{1}(X_{K};\mathbb {Z} )\cong \pi _{1}(X_{K})^{ab}\cong \mathbb {Z} }$.

Она порождается образом любой меридианальной петли узла. Целое число, соответствующее гомологическому классу в ${\displaystyle H_{1}(X_{K};\mathbb {Z} )}$ замкнутой ориентированной кривой в ${\displaystyle X_{K}}$, равно коэффициенту зацепления этой кривой с геометрическим узлом ${\displaystyle K}$.

Поскольку пространство ${\displaystyle X_{K}}$ связно, имеется изоморфизм ${\displaystyle H_{0}(X_{K};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$. Как и младшие группы гомологий, гомологии дополнения узла можно вычислить с помощью двойственности Александера:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}(X_{K};\mathbb {Z} )&\cong H^{1}(U(K);\mathbb {Z} )\cong H^{1}(S^{1};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ,\\H_{2}(X_{K};\mathbb {Z} )&\cong {\tilde {H}}^{0}(U(K);\mathbb {Z} )\cong {\tilde {H}}^{0}(S^{1};\mathbb {Z} )\cong 0,\\H_{3}(X_{K};\mathbb {Z} )&\cong 0.\end{aligned}}}$

В отличие от ${\displaystyle H_{2}(X_{K};\mathbb {Z} )}$, относительная группа гомологий ${\displaystyle H_{2}(X_{K},\partial X_{K};\mathbb {Z} )}$ не тривиальна, а является бесконечной циклической, порождённой любой поверхностью Зейферта узла.

Как показал Христос Папакирьякопулос, высшие гомотопические группы пространства ${\displaystyle X_{K}}$ тривиальны, иными словами, дополнение любого узла является асферическим^[3].

Дополнения узла и его зеркального образа гомеоморфны. Теорема, доказанная Кэмероном Гордоном^[англ.] и Джоном Люке^[англ.], гласит, что это единственная возможность. А именно, дополнения двух ручных узлов гомеоморфны тогда и только тогда, когда они либо совпадают, либо являются зеркальными образами друг друга^[4]. Таким образом, дополнение узла практически является его полным инвариантом.

Согласно теореме о геометризации трёхмерных многообразий, если дополнение узла является аторическим^[англ.], то на его внутренности можно ввести структуру одной из восьми трёхмерных геометрий.

Дополнения торических узлов являются аторическими многообразиями Зейферта. На их внутренностях можно ввести как геометрию универсального накрытия ${\displaystyle {\overline {{\rm {SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}}$, так и произведения ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {R} }$. Например, в случае трилистника геометрия с моделью ${\displaystyle {\overline {{\rm {SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}}$ может быть введена с помощью гомеоморфизма между внутренностью его дополнения и пространством ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {R} )/{\rm {SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$.

Как следует из определения, дополнение узла не является аторическим в том и только в том случае, если узел является сателлитным. Согласно теореме о гиперболизации^[англ.], доказанной Уильямом Тёрстоном, если узел не является сателлитным или торическим, то на внутренности его дополнения можно ввести геометрию гиперболического пространства ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$, причем единственным образом. В связи с этим такие узлы называются гиперболическими.

Разбиение множества всех узлов на торические, сателлитные и гиперболические называется классификацией Тёрстона.