Предел числовой последовательности

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число ${\displaystyle a}$ называется пределом последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует номер ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$, зависящий от ${\displaystyle \varepsilon }$, такой, что для любого ${\displaystyle n>N_{\varepsilon }}$ выполняется неравенство ${\displaystyle \ |x_{n}-a|<\varepsilon }$.

В случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений.^[1] В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

Понятие предела последовательности использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Число ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ называется пределом числовой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, если последовательность ${\displaystyle \{x_{n}-a\}}$ является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\Leftrightarrow ~\forall \varepsilon >0~\exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} \colon ~n\geqslant N~\Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon }$

(для всякого малого эпсилон найдётся номер, начиная с которого элементы последовательности будут отличаться от предела меньше чем на эпсилон)

Если число ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ является пределом числовой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, то говорят также, что последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ сходится к ${\displaystyle a}$. Если никакое вещественное число не является пределом последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, её называют расходящейся.

Для некоторых последовательностей предел полагают равным бесконечности. А именно, говорят, что последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ стремится к бесконечности, если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа. Формально,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ~\Leftrightarrow ~\forall E>0~\exists N(E)\in \mathbb {N} \colon ~\forall n\geqslant N\Rightarrow |x_{n}|>E}$

Кроме того, если все элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=+\infty ~\Leftrightarrow ~\forall E>0~\exists N(E)\in \mathbb {N} \colon ~\forall n\geqslant N\Rightarrow x_{n}>E}$

Если же элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty ~\Leftrightarrow ~\forall E>0~\exists N(E)\in \mathbb {N} \colon ~\forall n\geqslant N\Rightarrow x_{n}<-E}$

Любая последовательность, стремящаяся к бесконечности — неограниченная. Однако обратное неверно.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек (что равносильно, наибольший частичный предел).

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

Тот факт, что последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ сходится к числу ${\displaystyle a}$ обозначается одним из следующих способов:

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$

или

• ${\displaystyle x_{n}~{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}~a}$

Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.^[2]

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из приводимых ниже (доказуемых по определению) свойств предела.

• Единственность предела.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=b\;\Rightarrow \;a=b}$

• взятия предела числовой последовательности является линейным, то есть проявляет два свойства линейных отображений.
  • Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.

    ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \infty }x_{n}+\lim _{n\to \infty }y_{n}}$

  • Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

    ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {R} \colon \lim _{n\to \infty }kx_{n}=k\lim _{n\to \infty }x_{n}}$

• Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x_{n}\cdot y_{n})=\lim _{n\to \infty }x_{n}\cdot \lim _{n\to \infty }y_{n}}$

• Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }y_{n}}}}$

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.

  ${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}\leqslant a~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\leqslant a}$

• Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.

  ${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}\geqslant a~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\geqslant a}$

• Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.

  ${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}<a~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\leqslant a}$

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.

  ${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}>a~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\geqslant a}$

• Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.

  ${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}\leqslant y_{n}~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\leqslant \lim _{n\to \infty }y_{n}}$

• Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).

  ${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}\leqslant z_{n}\leqslant y_{n}~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\leqslant \lim _{n\to \infty }z_{n}\leqslant \lim _{n\to \infty }y_{n}}$

• Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\land ~\lim _{n\to \infty }x_{n}=b~\Rightarrow ~a=b}$

• Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.

  ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\in [a,~b]~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\in [a,~b]}$

• Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x=x}$

• Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.

• У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.

• Имеет место теорема Штольца.

• Если у последовательности ${\displaystyle x_{n}}$ существует предел, то последовательность средних арифметических ${\displaystyle {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$ имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).

• Если у последовательности чисел ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ существует предел ${\displaystyle x}$, и если задана функция ${\displaystyle f(x)}$, определённая для каждого ${\displaystyle x_{n}}$ и непрерывная в точке ${\displaystyle x}$, то

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{f(x_{n})}=f(x)}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}=0}$

• ${\displaystyle \forall q\in \mathbb {R} \colon \lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=0}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e}$

• ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\colon \lim _{n\to \infty }\underbrace {\sqrt {a+{\sqrt {a+\cdots +{\sqrt {a}}}}}} _{n}={\frac {1+{\sqrt {1+4a}}}{2}}}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}x_{k}}}=x}$

• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>0~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}}{x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{n}}}}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n=+\infty }$

• ${\displaystyle \nexists \lim _{n\to \infty }(-1)^{n}}$

Комплексное число ${\displaystyle a}$ называется пределом последовательности ${\displaystyle \{z_{n}\}}$, если для любого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ можно указать такой номер ${\displaystyle N=N(\varepsilon )}$, начиная с которого все элементы ${\displaystyle z_{n}}$ этой последовательности удовлетворяют неравенству
${\displaystyle |z_{n}-a|<\varepsilon }$ при ${\displaystyle n\geqslant N(\varepsilon )}$

Последовательность ${\displaystyle \{z_{n}\}}$, имеющая предел ${\displaystyle a}$, называется сходящейся к числу ${\displaystyle a}$, что записывается в виде ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }z_{n}=a}$.

Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве ${\displaystyle x_{n}}$ последовательность ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}$, то у неё не будет предела (однако у неё можно найти верхний и нижний пределы, ${\displaystyle 1,-1}$, то есть пределы её подпоследовательностей — частичные пределы).

• Частичный предел
• Замечательные пределы
• Фундаментальная последовательность
• Ряд
• Предел функции
• Неопределённости пределов
• Сравнение бесконечно малых величин
• Последовательность