Симметрическая область

Симметри́ческая о́бласть^{[комм 1]} — ограниченная, или хотя бы изоморфная ограниченной, область в комплексном пространстве, каждой точке которой соответствует обратное самому себе аналитическое отображение области, для которого эта точка единственная неподвижная. Формальное определение симметрической области дано ниже➤^[1][2].

Синонимы: ограниченная симметрическая область^[1][2]; классическая область^[3].

Это определение обобщается на комплексное многообразие следующим образом^[4].

Симметрическая область — комплексное многообразие, изоморфное ограниченной симметрической области комплексного пространства^[4].

Всего существует четыре серии неприводимых симметрических областей, которые привязаны к классическим простым группам Ли, а также две особые (исключительные) области комплексных размерностей 16 и 27➤^[5][2].

Все неприводимые области топологически, но не аналитически, эквивалентны комплексному пространству соответствующей размерности^[6].

Несимметрических областей в некотором смысле больше, чем симметрических^[7].

Симметри́ческая о́бласть^{[комм 1]} — ограниченная, или хотя бы изоморфная ограниченной, область в ${\displaystyle n}$-мерном комплексном пространств ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, каждой точке ${\displaystyle z_{0}\in D}$ которого в области ${\displaystyle D}$ соответствует голоморфный автоморфизм ${\displaystyle \varphi (z)\colon \,D\to D}$ со следующими двумя свойствами^[2][1]:

• ${\displaystyle \varphi (z)=z}$ только при ${\displaystyle z=z_{0}}$ (единственность неподвижной точки ${\displaystyle z_{0}}$);
• ${\displaystyle \varphi ^{2}(z)=z}$ при любом ${\displaystyle z\in D}$ (инволютивность автоморфизма ${\displaystyle \varphi (z)}$).

Замечание. Условие единственности неподвижной точки можно заменить на более слабое условие её изолированности^[5].

Это определение обобщается на комплексное многообразие следующим образом^[4].

Симметри́ческая о́бласть — комплексное многообразие, изоморфное симметрической области комплесного пространства^[4].

В 1935 году французский математик Эли Картан обнаружил все ограниченные однородные области в комплексном пространстве размерности 2 и 3. Как выяснилось, все они симметрические. В 1936 году Эли Картан также доказал, что все симметрические области однородны^[1].

Но в четырёхмерном комплексном пространстве Эли Картан не смог описать все ограниченные однородные области. Тем не менее он сумел отыскать все ограниченные симметрические области и поставил следующий вопрос: существуют ли ограниченные однородные несимметрические области?^[1]

В 1954 году швейцарский математик Арман Борель и в 1955 году французский математик Жан-Луи Кошуль^[англ.] доказали, что любая ограниченная однородная область симметрическая, если в ней транзитивно действует полупростая группа Ли. В 1957 году этот результат был усилен Хано, показавшим, что любая ограниченная область симметрическая, если в ней транзитивно действует унимодулярная группа Ли^[1].

В 1959 году советским, израильским и американским математиком И. И. Пятецким-Шапиро был обнаружен первый пример ограниченной однородной несимметрической области. Выяснилось, что несимметрические области существуют для всех размерностей, начиная с четырёх. Кроме того, он построил полную классификацию ограниченных однородных областей^[8].

Симметрическая область однородна^[1].

Симметрическая область — это эрмитово симметрическое пространство с отрицательной кривизной в метрике Бергмана^{[англ.][4]}.

Как комплексное многообразие симметрическая область ${\displaystyle D}$ имеет группу автоморфизмов — подгруппу группы движений комплексного пространства, причём связная компонента ${\displaystyle G(D)}$ этой группы^[4]:

• есть некомпактная^[англ.] вещественная полупростая группа Ли без центра;
• имеет стационарную подгруппу ${\displaystyle H(D)}$ произвольной точки из ${\displaystyle D}$, причём ${\displaystyle H(D)}$ есть связная компактная группа Ли с одномерным центром.

Как вещественное многообразие симметрическая область комплексной размерности ${\displaystyle n}$ диффеоморфна вещественному пространству размерности ${\displaystyle 2n}$^[4].

Любая симметрическая область однозначно представима как прямое произведение неприводимых симметрических областей, ограниченные представители которых перечислены в таблице ниже со следующими обозначениями^[4]:

• I—VI — тип неприводимой симметрической области ${\displaystyle D}$ по Э. Картану;
• ${\displaystyle G(D)}$ — связная компонента группы автоморфизмов области ${\displaystyle D}$:
• ${\displaystyle H(D)}$ — стационарная подгруппа произвольной точки области ${\displaystyle D}$:
• ${\displaystyle A_{n}}$, ${\displaystyle B_{n}}$, ${\displaystyle C_{n}}$, ${\displaystyle D_{n}}$ — четыре бесконечных семейства простых алгебр Ли;
• ${\displaystyle E_{6}}$, ${\displaystyle E_{7}}$ — особые случаи простых алгебр Ли;
• ${\displaystyle \operatorname {dim} D}$ — размерность области ${\displaystyle D}$;
• ${\displaystyle p,\,q}$ — натуральные числа;
• ${\displaystyle M_{p,\,q}}$ — пространство комплексных матриц размера ${\displaystyle p\times q}$;
• модель ${\displaystyle D}$ — комплексное многообразие ${\displaystyle D}$ как область матричного или точечного комплексного пространства.

Неприводимые симметрические области➤^[4]

Тип ${\displaystyle D}$	Тип ${\displaystyle G(D)}$	Тип ${\displaystyle H(D)}$	${\displaystyle \operatorname {dim} D}$	Модель ${\displaystyle D}$
I	${\displaystyle A_{p+q-1}}$	${\displaystyle A_{p-1}+A_{q-1}}$ (${\displaystyle p\geqslant q}$)	${\displaystyle pq}$➤	${\displaystyle \{\mathbf {Z} \in M_{p,\,q}\colon \,\mathbf {Z} ^{*}\mathbf {Z} ={\overline {\mathbf {Z} ^{T}{\bar {\mathbf {Z} }}}}<\mathbf {E} \}}$➤. Эквивалентная неограниченная область➤
II	${\displaystyle D_{p}}$	${\displaystyle A_{p-1}}$	${\displaystyle {\frac {p(p-1)}{2}}}$, ${\displaystyle p\geqslant 2}$➤	${\displaystyle \{\mathbf {Z} \in M_{p,\,p}\colon \,\mathbf {Z} ^{T}=-\mathbf {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{*}\mathbf {Z} =\mathbf {Z} ^{T}{\bar {\mathbf {Z} }}<\mathbf {E} \}}$➤. Эквивалентная неограниченная область➤
III	${\displaystyle C_{p}}$	${\displaystyle A_{p-1}}$	${\displaystyle {\frac {p(p+1)}{2}}}$➤	${\displaystyle \{\mathbf {Z} \in M_{p,\,p}\colon \,\mathbf {Z} ^{T}=\mathbf {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{*}\mathbf {Z} =\mathbf {Z} ^{T}{\bar {\mathbf {Z} }}<\mathbf {E} \}}$➤. Эквивалентная неограниченная область➤
IV	${\displaystyle D_{{\frac {p}{2}}+1}}$ ${\displaystyle B_{\frac {p+1}{2}}}$	${\displaystyle D_{{\frac {p}{2}}-1}}$ ${\displaystyle B_{\frac {p-1}{2}}}$	${\displaystyle p}$➤, ${\displaystyle p\neq 2}$➤	${\displaystyle \left\{{\vphantom {\frac {1}{2}}}\mathbf {Z} \in \mathbb {C} ^{p}\colon \,\sum |z_{i}|^{2}<{}\right.}$ ${\displaystyle \left.{}<{\frac {1}{2}}\left(1+\left|\sum z_{i}^{2}\right|^{2}\right)<1\right\}}$➤. Эквивалентная неограниченная область➤
V	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle D_{5}}$	${\displaystyle 16}$	Эквивалентной неограниченной области нет
VI	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle 27}$	Эквивалентная неограниченная область есть

Основные области односвязны и даже топологически различны как подмножества области ${\displaystyle {\bar {\mathbb {C} }}}$: граница замкнутой комплексной плоскости ${\displaystyle {\bar {\mathbb {C} }}}$ пуста, граница открытой копмлексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ состоит из одной точки, граница единичного круга ${\displaystyle U}$ состоит из более чем одной точки, то есть бесконечна, поскольку область ${\displaystyle U}$ связна по определению. Следовательно, области с пустой границей аналитически эквивалентны ${\displaystyle {\bar {\mathbb {C} }}}$, а с границей из одной точки аналитически эквивалентны ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Одна из основных теорем комплексного анализа — теорема Римана заключается в том, что произвольная односвязная область ${\displaystyle D}$, граница которой состоит из более чем одной точки, аналитически эквивалентна единичному кругу ${\displaystyle U}$^[9][10].

Следовательно, в случае одномерной комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ любая ограниченная односвязная область ${\displaystyle D}$ аналитически эквивалентна открытому единичному кругу ${\displaystyle U}$, для которого наиболее общий аналитический автоморфизм — это некоторое дробно-линейное преобразование

${\displaystyle z\to {\frac {az+b}{{\bar {b}}z+{\bar {a}}}}}$,

где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — комплексные числа, причём ${\displaystyle a{\bar {a}}-b{\bar {b}}=1}$. Эти преобразования образуют вещественную трёхмерную (две комплексные переменные и одно условие на них) группу Ли^[11].

Но в случае комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n>1}$, неизвестны необходимые и достаточные условия того, чтобы ограниченная область ${\displaystyle D}$ имела бесконечную (или хотя бы нетривиальную) группу аналитических автоморфизмов. Однако проблема решается при следующем дополнительном предположении: на область ${\displaystyle D}$ накладывается естественное ограничение однородности, другими словами, группа аналитических автоморфизмов транзитивна на ${\displaystyle D}$, то есть содержит преобразования, которые переводят любую точку ${\displaystyle D}$ в любую другую точку^[11].

Для случая ${\displaystyle n=2}$ французский математик Э. Картан доказал в 1936 году, что любая ограниченная однородная область аналитически эквивалентна одной из двух следующих областей^[11]:

• единичному шару

${\displaystyle B^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2}\colon |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}<1\};}$

• единичному бикругу

${\displaystyle \Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2}\colon |z_{1}|<1,\,|z_{2}|<1\}.}$

• Диаграммы шара Рейнхарта и Хартогса
• 
  Диаграмма Рейнхарта шара в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$
• 
  Диаграмма Рейнхарта шара в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$
• 
  Диаграмма Хартогса шара в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

• Диаграммы поликруга Рейнхарта и Хартогса
• 
  Диаграмма Рейнхарта бикруга в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$
• 
  Диаграмма Рейнхарта трикруга в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$
• 
  Диаграмма Хартогса бикруга в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Для случая ${\displaystyle n=3}$ Картан предположил, что любая ограниченная однородная область аналитически эквивалентна одной из четырёх следующих областей^[2]:

1° единичному шару

${\displaystyle B^{3}=\{z\in \mathbb {C} ^{3}\colon |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+|z_{3}|^{2}<1\};}$

2° единичному трикругу

${\displaystyle \Delta ^{3}=\{z\in \mathbb {C} ^{3}\colon |z_{1}|<1,\,|z_{2}|<1,\,|z_{3}|<1\};}$

3° области

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ^{3}\colon |z_{1}|^{2}<1,\,|z_{2}|^{2}+|z_{3}|^{2}<1\};}$

4° области

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ^{3}\colon \mathbf {Z{\bar {Z}}} <\mathbf {E} \},\,}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}z_{1}&z_{2}\\z_{2}&z_{3}\end{pmatrix}},\,}$ ${\displaystyle \mathbf {\bar {Z}} ={\begin{pmatrix}{\bar {z_{1}}}&{\bar {z_{2}}}\\{\bar {z_{2}}}&{\bar {z_{3}}}\end{pmatrix}},\,}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Для случаев ${\displaystyle n>3}$ Картан установил, что структура ограниченных однородных областей усложнилась, и добавил ещё одно ограничение, автоматически выполняющееся при ${\displaystyle n=1,\,2,\,3,}$ а именно: симметричность области. Ограниченная симметрическая область всегда однородна^[2].

Теорема 1 (о симметричности ограниченной области)^{[комм 2]}. Ограниченная (s¹) область комплексного пространства симметрична тогда и только тогда, когда она однородна (s²) и для каждой её точки её группа аналитических автоморфизмов включает хотя бы одну инволюцию с этой единственной неподвижной точкой (s³)^[2].

Картан классифицировал все ограниченные симметрические области. Для этой классификации достаточно двух действий^[2]:

• приводить только одну область как представителя каждого класса эквивалентных относительно биголоморфных отображений областей;
• использовать только неприводимые классы областей, то есть тех областей, которые нельзя представить как прямое произведение ограниченных симметрических областей меньшей размерности.

Для случая ${\displaystyle n=1}$ вообще имеется только один класс, представитель которого — открытый единичный круг

${\displaystyle U=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}}$^[2].

Для случая ${\displaystyle n=2}$ имеется только один неприводимый класс, представитель которого — открытый единичный шар

${\displaystyle B^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2}\colon |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}<1\}}$^[2].

Для случая ${\displaystyle n=3}$ имеется только два неприводимых класса, представители которых — области 1° и 4°^[2].

Всего существует шесть типов неприводимых областей, причём два из них особые (исключительные), то есть существуют только для одного значения комплексной размерности — для 16 и 27^[2][5].

Обозначим через ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle p+q=m}$, натуральные числа. Будем рассматривать группу комплексных линейных преобразований ${\displaystyle m}$ комплексных переменных, которые не меняют эрмитову форму

${\displaystyle -|t_{1}|^{2}-\cdots -|t_{p}|^{2}+|t_{p+1}|^{2}+\cdots +|t_{m}|^{2}=(\mathbf {t} ,\,\mathbf {H} \mathbf {\bar {t}} )=\mathbf {t} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {t}} ,}$

где

${\displaystyle \mathbf {t} ={\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{m}\end{pmatrix}},\quad }$ ${\displaystyle \mathbf {t} ^{T}={\begin{pmatrix}t_{1}\cdots t_{m}\end{pmatrix}},\quad }$ ${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}-\mathbf {E} _{p}&0\\0&\mathbf {E} _{q}\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{p}}$, ${\displaystyle \mathbf {E} _{q}}$ — единичные матрицы соответственно размеров ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$^[12].

Другими словами, будем рассматривать группу комплексных линейных преобразований с квадратной матрицей ${\displaystyle \mathbf {G} }$, то есть группу комплексных линейных преобразований пространства ${\displaystyle M_{m}}$ квадратных комплексных матриц размера ${\displaystyle m\times m}$, отвечающей равенству

${\displaystyle \mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {H} }$

и зависящей от ${\displaystyle m^{2}}$ вещественных параметров: на ${\displaystyle 2m^{2}}$ вещественных чисел матрицы ${\displaystyle \mathbf {G} }$ накладываются ограничения ${\displaystyle m^{2}}$ уравнений с этими числами^[13].

Введём обозначения для числа строк и столбцов матрицы соответственно следующим образом^[13]:

${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {G} ^{(m,\,m)}={\begin{pmatrix}\mathbf {A} ^{(p,\,p)}&\mathbf {B} ^{(p,\,q)}\\\mathbf {C} ^{(q,\,p)}&\mathbf {D} ^{(q,\,q)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{pmatrix}}}$.

В итоге получаем, что ${\displaystyle \mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {H} }$ тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\mathbf {\bar {A}} -\mathbf {C} ^{T}\mathbf {\bar {C}} =\mathbf {E} _{p},\,\,}$ ${\displaystyle \mathbf {D} ^{T}\mathbf {\bar {D}} -\mathbf {B} ^{T}\mathbf {\bar {B}} =\mathbf {E} _{q},\,\,}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\mathbf {\bar {B}} =\mathbf {C} ^{T}\mathbf {\bar {D}} }$^[13].

Рассмотрим теперь произвольную матрицу из ${\displaystyle m}$ строк и ${\displaystyle q}$ столбцов

${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}\mathbf {V} ^{(p,\,q)}\\\mathbf {W} ^{(q,\,q)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {V} \\\mathbf {W} \end{pmatrix}}}$

такую, что квадратная матрица размера ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {U} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {U}} >0}$, то есть все элементы матрицы больше нуля. Другими словами, ${\displaystyle \mathbf {V} ^{(p,\,q)}}$ — произвольная матрица, а ${\displaystyle \mathbf {W} ^{(q,\,q)}}$ — произвольная матрица такая, что выполняется неравенство ${\displaystyle \mathbf {W} ^{T}\mathbf {\bar {W}} >\mathbf {V} ^{T}\mathbf {\bar {V}} }$^[13].

Биекция ${\displaystyle \mathbf {U} \to \mathbf {GU} =\mathbf {U} _{1}}$ переводит множество матриц ${\displaystyle \mathbf {U} }$ в себя в силу следующих соотношений^[13]:

${\displaystyle \mathbf {U} _{1}^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {U}} _{1}=\mathbf {U} ^{T}\mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} \mathbf {\bar {U}} =\mathbf {U} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {U}} >0}$.

Cуществуют обратные матрицы ${\displaystyle \mathbf {W} ^{-1}}$, так как матрицы ${\displaystyle \mathbf {W} }$ невырождены, поскольку в противном случае имеется ненулевой вектор ${\displaystyle \mathbf {z} }$ размера ${\displaystyle q}$ такой, что ${\displaystyle \mathbf {Wz} =0}$, что ведёт к противоречию

${\displaystyle 0=\mathbf {z} ^{T}\mathbf {W} ^{T}\mathbf {\bar {W}} \mathbf {\bar {z}} >\mathbf {z} ^{T}\mathbf {V} ^{T}\mathbf {\bar {V}} \mathbf {\bar {z}} =(\mathbf {V} \mathbf {z} )^{T}({\overline {\mathbf {V} \mathbf {z} }})=\mathbf {z} _{1}^{T}\mathbf {\bar {z}} _{1}\geqslant 0}$,

где ${\displaystyle \mathbf {z} _{1}=\mathbf {V} \mathbf {z} }$ — некоторый вектор^[13].

Предложение 1 (о существовании области ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} }$). В пространстве ${\displaystyle M_{p,\,q}}$ комплексных матриц размера ${\displaystyle p\times q}$ множество матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{(p,\,q)}=\mathbf {V} \mathbf {W} ^{-1}}$ образует область ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} }$^[13].

Доказательство. Действительно, выполняется следующая цепочка неравенств^[13]:

${\displaystyle \mathbf {U} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {U}} >0}$, или ${\displaystyle \mathbf {W} ^{T}\mathbf {\bar {W}} >\mathbf {V} ^{T}\mathbf {\bar {V}} }$,

или ${\displaystyle (\mathbf {W} ^{-1})^{T}\mathbf {W} ^{T}\mathbf {\bar {W}} {\overline {\mathbf {W} ^{-1}}}>(\mathbf {W} ^{-1})^{T}\mathbf {V} ^{T}\mathbf {\bar {V}} {\overline {\mathbf {W} ^{-1}}}}$,

то есть ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} }$, или ${\displaystyle {\overline {\mathbf {Z} ^{T}}}\mathbf {\bar {\bar {Z}}} =\mathbf {Z} ^{*}\mathbf {Z} <\mathbf {E} }$.

Предложение 2 (о выполнении условия (s¹)➤). Множество всех матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{(p,\,q)}}$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} _{q}}$, есть ограниченная область в комплексном пространстве размерности ${\displaystyle pq}$^[13].

Доказательство. Для матрицы ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ сумма квадратов модулей всех её элементов не превосходит размерности ${\displaystyle q}$ квадратной матрицы ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} }$, поскольку каждый элемент на главной диагонали матрицы ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} }$, равный сумме квадратов модулей всех ${\displaystyle p}$ элементов соответствующей строки матрицы ${\displaystyle \mathbf {Z} }$, меньше 1^[13]. □

Предложение 3. Область ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} _{q}}$ инвариантна относительно группы следующих дробно-линейных преобразований^[14]:

${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1}}$,

где

${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\mathbf {\bar {A}} -\mathbf {C} ^{T}\mathbf {\bar {C}} =\mathbf {E} _{p},\,\,}$ ${\displaystyle \mathbf {D} ^{T}\mathbf {\bar {D}} -\mathbf {B} ^{T}\mathbf {\bar {B}} =\mathbf {E} _{q},\,\,}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\mathbf {\bar {B}} =\mathbf {C} ^{T}\mathbf {\bar {D}} .}$

Доказательство. Рассмотренная выше биекция ${\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}\mathbf {V} ^{(p,\,q)}\\\mathbf {W} ^{(q,\,q)}\end{pmatrix}}\to \mathbf {GU} =\mathbf {U} _{1}={\begin{pmatrix}\mathbf {V} _{1}^{(p,\,q)}\\\mathbf {W} _{1}^{(q,\,q)}\end{pmatrix}}}$,

переходит в следующее дробно-линейное преобразование^[15]:

${\displaystyle \mathbf {Z} ^{(p,\,q)}=\mathbf {V} \mathbf {W} ^{-1}\to \mathbf {Z} _{1}^{(p,\,q)}=\mathbf {V} _{1}\mathbf {W} _{1}^{-1}=}$

${\displaystyle =(\mathbf {A} \mathbf {V} +\mathbf {B} \mathbf {W} )(\mathbf {C} \mathbf {V} +\mathbf {D} \mathbf {W} )^{-1}=(\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1}}$. □

Предложение 4. Группа дробно-линейных преобразований

${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1}}$

зависит от ${\displaystyle m^{2}-1}$ вещественных параметров^[14].

Доказательство. При переходе в доказательстве предложения 2 от группы матриц ${\displaystyle \mathbf {G} }$ к группе дробно-линейных преобразований не учтён один вещественный параметр, ведь если ${\displaystyle \eta }$ — комплексное число, по модулю равное 1, ${\displaystyle \eta =e^{i\varphi }}$, ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {R} }$, то два преобразования

${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1},\,\,}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\eta \mathbf {A} \mathbf {Z} +\eta \mathbf {B} )(\eta \mathbf {C} \mathbf {Z} +\eta \mathbf {D} )^{-1}}$

совпадают. Другими словами, однопараметрическая подгруппа, образованная матрицами ${\displaystyle \mathbf {G} }$ вида ${\displaystyle \eta \mathbf {E} _{m}}$, где ${\displaystyle |\eta |=1}$, переходит в тождественное отображение, и эта однопараметрическая подгруппа есть полный прообраз этого тождественного преобразования^[14]. □

Предложение 5 (о выполнении условия (s²)➤). Группа дробно-линейных преобразований

${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1}}$

транзитивна в области

${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} _{q}}$,

то есть эта область однородна^[14].

Предложение 6. Группа дробно-линейных преобразований

${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1}}$

включает преобразование

${\displaystyle \mathbf {Z} \to e^{i\theta }\mathbf {Z} }$,

получаемое, когда

${\displaystyle \mathbf {A} =e^{i\theta }\eta \mathbf {E} _{p},\,\,}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} =0,\,\,}$${\displaystyle \mathbf {D} =\eta \mathbf {E} _{q},}$

где ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle |\eta |=1}$^[14].

Следствие 1 (о выполнении условия (s³)➤. Эта группа дробно-линейных преобразований включает преобразование ${\displaystyle \mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} }$ — инволюцию с единственной неподвижной матрицей ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {0} }$^[14].

В случае ${\displaystyle q=1}$ получается следующий единичный шар в ${\displaystyle p}$-мерном комплексном пространстве^[14]:

${\displaystyle B^{p}=\{z\in \mathbb {C} ^{p}\colon |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+\cdots +|z_{p}|^{2}<1\}}$.

Предложение 7. Группа дробно-линейных преобразований

${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1}}$

есть полная группа голоморфных автоморфизмов области ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} _{q}}$^[14].

Предложение 8. При перемене местами ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ опять будут те же самые область и группа^[14].

В обозначениях описания области типа I пусть ${\displaystyle p=q\geqslant 2}$ и введём подгруппу той группы комплексных линейных преобразований ${\displaystyle m}$ комплексных переменных, которая использовалась при описании области типа I, а именно: пусть линейные преобразования не меняют не только эрмитову форму

${\displaystyle -|t_{1}|^{2}-\cdots -|t_{p}|^{2}+|t_{p+1}|^{2}+\cdots +|t_{2p}|^{2}=(\mathbf {t} ,\,\mathbf {H} \mathbf {\bar {t}} )=\mathbf {t} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {t}} ,}$

где

${\displaystyle \mathbf {t} ={\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{2p}\end{pmatrix}},\quad }$ ${\displaystyle \mathbf {t} ^{T}={\begin{pmatrix}t_{1}\cdots t_{2p}\end{pmatrix}},\quad }$ ${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}-\mathbf {E} _{p}&0\\0&\mathbf {E} _{p}\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{p}}$ — единичная матрица размера ${\displaystyle p}$, но линейные преобразования также не меняют следующую квадратичную форму^[14]:

${\displaystyle 2t_{1}t_{p+1}+2t_{2}t_{p+2}+\cdots +2t_{p}t_{2p}=(\mathbf {t} ,\,\mathbf {K} \mathbf {t} )=\mathbf {t} ^{T}\mathbf {K} \mathbf {t} ,}$

где

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{pmatrix}0&\mathbf {E} _{p}\\\mathbf {E} _{p}&0\end{pmatrix}}}$.

Другими словами, будем рассматривать группу комплексных линейных преобразований с квадратной матрицей ${\displaystyle \mathbf {G} }$, то есть группу комплексных линейных преобразований пространства ${\displaystyle M_{2p}}$ квадратных комплексных матриц размера ${\displaystyle (2p)\times (2p)}$, отвечающей следующим двум равенствам^[14]:

${\displaystyle \mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {H} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {G} ^{T}\mathbf {K} \mathbf {G} =\mathbf {K} }$.

Предложение 1. Условия

${\displaystyle \mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {H} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {G} ^{T}\mathbf {K} \mathbf {G} =\mathbf {K} }$,

которые наложены на матрицу ${\displaystyle \mathbf {G} }$, эквивалентны уcловиям

${\displaystyle \mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {H} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {J} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {G} \mathbf {J} }$,

где матрица ${\displaystyle \mathbf {J} }$ имеет следующий вид^[16]:

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {H} ={\begin{pmatrix}0&\mathbf {E} _{p}\\\mathbf {E} _{p}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\mathbf {E} _{p}&0\\0&\mathbf {E} _{p}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\mathbf {E} _{p}\\-\mathbf {E} _{p}&0\end{pmatrix}}}$.

Доказательство. Из

${\displaystyle \mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {H} }$ и ${\displaystyle \mathbf {G} ^{T}\mathbf {K} \mathbf {G} =\mathbf {K} }$

следует

${\displaystyle \mathbf {G} ^{-1}\mathbf {J} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {G} ^{-1}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} =(\mathbf {G} ^{T}\mathbf {K} \mathbf {G} )^{-1}(\mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} )=\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {H} =\mathbf {J} }$,

а из

${\displaystyle \mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {H} }$ и ${\displaystyle \mathbf {J} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {G} \mathbf {J} }$

вытекает следующая цепочка равенств^[16]:

${\displaystyle \mathbf {G} ^{-1}\mathbf {K} \mathbf {G} =\mathbf {G} ^{-1}\mathbf {H} \mathbf {J} ^{-1}\mathbf {G} =(\mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} )(\mathbf {G} ^{-1}\mathbf {J} \mathbf {\bar {G}} )^{-1}=\mathbf {H} \mathbf {J} ^{-1}=\mathbf {K} }$. □

Обозначим

${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {G} ^{(p,\,p)}={\begin{pmatrix}\mathbf {A} ^{(p,\,p)}&\mathbf {B} ^{(p,\,p)}\\\mathbf {C} ^{(p,\,p)}&\mathbf {D} ^{(p,\,p)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{pmatrix}}}$,

тогда имеем, что условие ${\displaystyle \mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {H} }$ равносильно равенствам

${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\mathbf {\bar {A}} -\mathbf {C} ^{T}\mathbf {\bar {C}} =\mathbf {E} _{p}=\mathbf {D} ^{T}\mathbf {\bar {D}} -\mathbf {B} ^{T}\mathbf {\bar {B}} ,\,\,}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\mathbf {\bar {B}} =\mathbf {C} ^{T}\mathbf {\bar {D}} }$,

а второе условие ${\displaystyle \mathbf {J} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {G} \mathbf {J} }$ — следующим равенствам^[16]:

${\displaystyle \mathbf {B} =-\mathbf {\bar {C}} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {D} =\mathbf {\bar {A}} }$.

Отсюда находим, что соотношения

${\displaystyle \mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {H} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {J} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {G} \mathbf {J} }$

эквивалентны следующим^[16]:

${\displaystyle \mathbf {B} =-\mathbf {\bar {C}} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {D} =\mathbf {\bar {A}} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {A} ^{T}\mathbf {\bar {A}} -\mathbf {C} ^{T}\mathbf {\bar {C}} =\mathbf {E} _{p}}$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {A} ^{T}\mathbf {C} =-\mathbf {C} ^{T}\mathbf {A} }$.

Матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$ невырождена, так как ${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\mathbf {\bar {A}} =\mathbf {C} ^{T}\mathbf {\bar {C}} +\mathbf {E} _{p}>0}$, поэтому окончательно получаем, что предыдущие условия равносильны следующим^[16]:

${\displaystyle \mathbf {B} =-\mathbf {\bar {C}} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {D} =\mathbf {\bar {A}} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {E} _{p}-(\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1})^{T}({\overline {\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}}})=(\mathbf {A} ^{-1})^{T}({\overline {\mathbf {A} ^{-1}}})}$,

${\displaystyle \,\,\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}=-(\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1})^{T}}$.

Предложение 2. Количество вещественных параметров группы, образованной матрицами ${\displaystyle \mathbf {G} }$, равно следующей величине^[17]:

${\displaystyle p^{2}+p(p-1)=p(2p-1)}$.

Доказательство. Наиболее общая матрица ${\displaystyle \mathbf {G} }$ конструируется следующим алгоритмом^[16]:

• фиксируем произвольную кососимметричную матрицу ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(p,\,p)}}$, ${\displaystyle \mathbf {T} ^{T}=-\mathbf {T} }$, с условием ${\displaystyle \mathbf {T} ^{T}\mathbf {\bar {T}} <\mathbf {E} _{p}}$;
• отыскиваем матрицу ${\displaystyle \mathbf {A} _{0}^{(p,\,p)}}$ с условием ${\displaystyle (\mathbf {A} _{0}^{-1})^{T}({\overline {A^{-1}}})=\mathbf {E} _{p}-\mathbf {T} ^{T}\mathbf {\bar {T}} }$, в итоге произвольная матрица ${\displaystyle \mathbf {A} ^{(p,\,p)}}$ с этим условием ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})^{T}({\overline {A^{-1}}})=\mathbf {E} _{p}-\mathbf {T} ^{T}\mathbf {\bar {T}} }$ записывается как ${\displaystyle \mathbf {A} _{0}\mathbf {O} }$, где ${\displaystyle \mathbf {O} ^{(p,\,p)}}$ — унитарная матрица, ${\displaystyle \mathbf {O} ^{-1}=\mathbf {O} ^{*}=\mathbf {\bar {O}} ^{T}}$;
• наконец, задаём матрицу ${\displaystyle \mathbf {G} }$ следующими равенствами:

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{0}\mathbf {O} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {C} =\mathbf {T} \mathbf {A} =\mathbf {T} \mathbf {A} _{0}\mathbf {O} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {D} =\mathbf {\bar {A}} =\mathbf {\bar {A}} _{0}\mathbf {\bar {O}} }$,

${\displaystyle \,\,\mathbf {B} =-\mathbf {\bar {C}} =-\mathbf {\bar {T}} \mathbf {\bar {A}} _{0}\mathbf {\bar {O}} }$.

Последние равенства, определяющие матрицу ${\displaystyle \mathbf {G} }$, зависят только от двух произвольных матриц: унитарной ${\displaystyle \mathbf {O} ^{(p,\,p)}}$, имеющей ${\displaystyle {\frac {p^{2}}{2}}}$ независимых комплексных элементов, и кососимметричной ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(p,\,p)}}$, имеющей ${\displaystyle {\frac {p^{2}-p}{2}}}$ независимых комплексных элементов, откуда и получаем утверждение теоремы^[17]. □

Рассмотрим теперь произвольную матрицу из ${\displaystyle 2p}$ строк и ${\displaystyle p}$ столбцов

${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}\mathbf {V} ^{(p,\,p)}\\\mathbf {W} ^{(p,\,p)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {V} \\\mathbf {W} \end{pmatrix}}}$

такую, что квадратные матрицы размера ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {U} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {U}} >0}$ (то есть все элементы матрицы больше нуля) и ${\displaystyle \mathbf {U} ^{T}\mathbf {K} \mathbf {U} =\mathbf {0} }$. Другими словами, ${\displaystyle \mathbf {V} ^{(p,\,p)}}$ — произвольная матрица, а ${\displaystyle \mathbf {W} ^{(p,\,p)}}$ — произвольная матрица такая, что выполняются соотношения ${\displaystyle \mathbf {W} ^{T}\mathbf {\bar {W}} >\mathbf {V} ^{T}\mathbf {\bar {V}} }$ и ${\displaystyle \mathbf {V} ^{T}\mathbf {W} =-\mathbf {W} ^{T}\mathbf {V} }$^[17].

Биекция ${\displaystyle \mathbf {U} \to \mathbf {GU} }$ переводит множество матриц ${\displaystyle \mathbf {U} }$ в себя, то есть сохраняет множества ${\displaystyle \mathbf {U} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {U}} }$ и ${\displaystyle \mathbf {U} ^{T}\mathbf {K} \mathbf {U} }$➤^[17].

Предложение 3 (о существовании области ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} }$, ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}=-\mathbf {Z} }$). В пространстве ${\displaystyle M_{p,\,p}}$ комплексных матриц размера ${\displaystyle p\times p}$ множество матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{(p,\,p)}=\mathbf {V} \mathbf {W} ^{-1}}$ образует область ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} }$, ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}=-\mathbf {Z} }$^[17].

Доказательство. Любая матрица ${\displaystyle \mathbf {W} }$ невырождена и имеет обратную➤, следовательно, ограничения матриц ${\displaystyle \mathbf {V} }$ и ${\displaystyle \mathbf {W} }$ принимают следующий вид➤^[17]:

${\displaystyle (\mathbf {V} \mathbf {W} ^{-1})^{T}({\overline {\mathbf {V} W^{-1}}})<\mathbf {E} _{p}}$, ${\displaystyle \,\,(\mathbf {V} \mathbf {W} ^{-1})^{T}=-\mathbf {V} W^{-1}}$,

то есть ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} }$, или ${\displaystyle {\overline {\mathbf {Z} ^{T}}}\mathbf {\bar {\bar {Z}}} =\mathbf {Z} ^{*}\mathbf {Z} <\mathbf {E} }$, и ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}=-\mathbf {Z} }$. □

Предложение 4 (о выполнении условия (s¹)➤). Множество всех матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{(p,\,p)}}$, удовлетворяющих условиям ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} _{p}}$ и ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}=-\mathbf {Z} }$, есть ограниченная область в комплексном пространстве размерности ${\displaystyle {\frac {p(p-1)}{2}}}$, ${\displaystyle p\geqslant 2}$^[17].

Доказательство. Первое условие ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} _{p}}$ говорит об ограниченности области➤, второе условие ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}=-\mathbf {Z} }$ делает матрицы ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ кососимметричными, поэтому независимы только элементы выше главной диагонали (или ниже) в следующем количестве^[17]:

${\displaystyle {\frac {p^{2}-p}{2}}={\frac {p(p-1)}{2}}}$. □

Предложение 5. Область ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} _{p}}$, ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}=-\mathbf {Z} }$ инвариантна относительно группы следующих дробно-линейных преобразований➤^[17]:

${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1}}$,

где

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{0}\mathbf {O} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {C} =\mathbf {T} \mathbf {A} =\mathbf {T} \mathbf {A} _{0}\mathbf {O} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {D} =\mathbf {\bar {A}} =\mathbf {\bar {A}} _{0}\mathbf {\bar {O}} }$,

${\displaystyle \,\,\mathbf {B} =-\mathbf {\bar {C}} =-\mathbf {\bar {T}} \mathbf {\bar {A}} _{0}\mathbf {\bar {O}} }$.

Предложение 6. Как и в случае симметрических областей типа I➤ группа дробно-линейных преобразований

${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1}}$

зависит меньше чем от ${\displaystyle p(2p-1)}$ вещественных параметров, которые имеет группа матриц ${\displaystyle \mathbf {G} }$, причём разница зависит от ${\displaystyle p}$➤^[17].

Доказательство. Например, при значении ${\displaystyle p=2}$ разница числа параметров составляет 3, поскольку трёхпараметрическая подгруппа группы матриц ${\displaystyle \mathbf {G} }$ с условиями

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {\bar {D}} ={\begin{pmatrix}a&b\\-{\bar {b}}&{\bar {a}}\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {B} =\mathbf {C} =\mathbf {0} }$, ${\displaystyle \,\,a{\bar {a}}+b{\bar {b}}=1}$

переходит в тождественной преобразование^[17].

Предложение 7 (о выполнении условия (s²)➤). Группа дробно-линейных преобразований

${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1}}$

транзитивна в области

${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} _{q}}$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {Z} ^{T}=-\mathbf {Z} }$,

то есть эта область однородна^[17].

Предложение 8. Группа дробно-линейных преобразований

${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1}}$

включает преобразование

${\displaystyle \mathbf {Z} \to e^{i\theta }\mathbf {Z} }$,

получаемое, когда

${\displaystyle \mathbf {A} =e^{i{\frac {\theta }{2}}}\mathbf {E} _{p},\,\,}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} =0,\,\,}$${\displaystyle \mathbf {D} =e^{-i{\frac {\theta }{2}}}\mathbf {E} _{p},}$

где ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$^[17].

Следствие 1 (о выполнении условия (s³)➤. Эта группа дробно-линейных преобразований включает преобразование ${\displaystyle \mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} }$ — инволюцию с единственной неподвижной матрицей ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {0} }$^[17].

В итоге получили, что построенная область симметрична^[17].

Предложение 9. Группа дробно-линейных преобразований

${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1}}$

есть полная группа голоморфных автоморфизмов области ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} _{q}}$, ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}=-\mathbf {Z} }$^[17].

В обозначениях описания области типа I пусть, в отличие от области типа II, просто ${\displaystyle p=q}$ и введём подгруппу той группы комплексных линейных преобразований ${\displaystyle m}$ комплексных переменных, которая использовалась при описании области типа I, но другую, чем для области типа II, а именно: пусть линейные преобразования не меняют не только эрмитову форму

${\displaystyle -|t_{1}|^{2}-\cdots -|t_{p}|^{2}+|t_{p+1}|^{2}+\cdots +|t_{2p}|^{2}=(\mathbf {t} ,\,\mathbf {H} \mathbf {\bar {t}} )=\mathbf {t} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {t}} ,}$

где

${\displaystyle \mathbf {t} ={\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{2p}\end{pmatrix}},\quad }$ ${\displaystyle \mathbf {t} ^{T}={\begin{pmatrix}t_{1}\cdots t_{2p}\end{pmatrix}},\quad }$ ${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}-\mathbf {E} _{p}&0\\0&\mathbf {E} _{p}\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{p}}$ — единичная матрица размера ${\displaystyle p}$, но линейные преобразования также не меняют следующую билинейную форму^[17]:

${\displaystyle (t_{1}u_{p+1}-u_{1}t_{p+1})+\cdots +(t_{p}u_{2p}-u_{p}t_{2p})=(\mathbf {t} ,\,\mathbf {J} \mathbf {u} )=\mathbf {t} ^{T}\mathbf {J} \mathbf {u} ,}$

где

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0&\mathbf {E} _{p}\\-\mathbf {E} _{p}&0\end{pmatrix}}}$.

Другими словами, будем рассматривать группу комплексных линейных преобразований с квадратной матрицей ${\displaystyle \mathbf {G} }$, то есть группу комплексных линейных преобразований пространства ${\displaystyle M_{2p}}$ квадратных комплексных матриц размера ${\displaystyle (2p)\times (2p)}$, отвечающей следующим двум равенствам^[18]:

${\displaystyle \mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {H} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {G} ^{T}\mathbf {J} \mathbf {G} =\mathbf {J} }$.

Предложение 1. Условия

${\displaystyle \mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {H} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {G} ^{T}\mathbf {J} \mathbf {G} =\mathbf {J} }$,

которые наложены на матрицу ${\displaystyle \mathbf {G} }$, эквивалентны уcловиям

${\displaystyle \mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {H} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {K} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {G} \mathbf {K} }$,

где матрица ${\displaystyle \mathbf {K} }$ имеет следующий вид^[18]:

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{pmatrix}0&\mathbf {E} _{p}\\\mathbf {E} _{p}&0\end{pmatrix}}}$.

Доказательство. Из того, что

${\displaystyle \mathbf {K} =-\mathbf {J} ^{-1}\mathbf {H} }$ и ${\displaystyle \mathbf {J} =-\mathbf {H} \mathbf {K} ^{-1}}$➤,

и следует утверждение предложения➤^[18]. □

Обозначим

${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {G} ^{(p,\,p)}={\begin{pmatrix}\mathbf {A} ^{(p,\,p)}&\mathbf {B} ^{(p,\,p)}\\\mathbf {C} ^{(p,\,p)}&\mathbf {D} ^{(p,\,p)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{pmatrix}}}$,

тогда имеем, что условие ${\displaystyle \mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {H} }$ равносильно равенствам

${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\mathbf {\bar {A}} -\mathbf {C} ^{T}\mathbf {\bar {C}} =\mathbf {E} _{p}=\mathbf {D} ^{T}\mathbf {\bar {D}} -\mathbf {B} ^{T}\mathbf {\bar {B}} ,\,\,}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\mathbf {\bar {B}} =\mathbf {C} ^{T}\mathbf {\bar {D}} }$,

а второе условие ${\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {G} \mathbf {K} }$ — следующим равенствам^[18]:

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\bar {C}} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {D} =\mathbf {\bar {A}} }$.

Отсюда находим, что соотношения

${\displaystyle \mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {H} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {K} \mathbf {\bar {G}} =\mathbf {G} \mathbf {K} }$

эквивалентны следующим^[18]:

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\bar {C}} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {D} =\mathbf {\bar {A}} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {A} ^{T}\mathbf {\bar {A}} -\mathbf {C} ^{T}\mathbf {\bar {C}} =\mathbf {E} _{p}}$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {A} ^{T}\mathbf {C} =\mathbf {C} ^{T}\mathbf {A} }$.

Матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$ невырождена, так как ${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\mathbf {\bar {A}} =\mathbf {C} ^{T}\mathbf {\bar {C}} +\mathbf {E} _{p}>0}$, поэтому окончательно получаем, что предыдущие условия равносильны следующим^[18]:

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\bar {C}} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {D} =\mathbf {\bar {A}} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {E} _{p}-(\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1})^{T}({\overline {\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}}})=(\mathbf {A} ^{-1})^{T}({\overline {\mathbf {A} ^{-1}}})}$,

${\displaystyle \,\,\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}=(\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1})^{T}}$.

Предложение 2. Количество вещественных параметров группы, образованной матрицами ${\displaystyle \mathbf {G} }$, равно следующей величине^[18]:

${\displaystyle p^{2}+p(p+1)=p(2p+1)}$.

Доказательство. Наиболее общая матрица ${\displaystyle \mathbf {G} }$ конструируется следующим алгоритмом^[18]:

• фиксируем произвольную симметричную матрицу ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(p,\,p)}}$, ${\displaystyle \mathbf {T} ^{T}=\mathbf {T} }$, с условием ${\displaystyle \mathbf {T} ^{T}\mathbf {\bar {T}} <\mathbf {E} _{p}}$;
• отыскиваем матрицу ${\displaystyle \mathbf {A} _{0}^{(p,\,p)}}$ с условием ${\displaystyle (\mathbf {A} _{0}^{-1})^{T}({\overline {A_{0}^{-1}}})=\mathbf {E} _{p}-\mathbf {T} ^{T}\mathbf {\bar {T}} }$, в итоге произвольная матрица ${\displaystyle \mathbf {A} ^{(p,\,p)}}$ с этим условием ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})^{T}({\overline {A^{-1}}})=\mathbf {E} _{p}-\mathbf {T} ^{T}\mathbf {\bar {T}} }$ записывается как ${\displaystyle \mathbf {A} _{0}\mathbf {O} }$, где ${\displaystyle \mathbf {O} ^{(p,\,p)}}$ — унитарная матрица, ${\displaystyle \mathbf {O} ^{-1}=\mathbf {O} ^{*}=\mathbf {\bar {O}} ^{T}}$;
• наконец, задаём матрицу ${\displaystyle \mathbf {G} }$ следующими равенствами:

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{0}\mathbf {O} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {C} =\mathbf {T} \mathbf {A} =\mathbf {T} \mathbf {A} _{0}\mathbf {O} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {D} =\mathbf {\bar {A}} =\mathbf {\bar {A}} _{0}\mathbf {\bar {O}} }$,

${\displaystyle \,\,\mathbf {B} =\mathbf {\bar {C}} =\mathbf {\bar {T}} \mathbf {\bar {A}} _{0}\mathbf {\bar {O}} }$.

Последние равенства, определяющие матрицу ${\displaystyle \mathbf {G} }$, зависят только от двух произвольных матриц: унитарной ${\displaystyle \mathbf {O} ^{(p,\,p)}}$, имеющей ${\displaystyle {\frac {p^{2}}{2}}}$ независимых комплексных элементов, и симметричной ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(p,\,p)}}$, имеющей ${\displaystyle {\frac {p^{2}-p}{2}}+p}$ независимых комплексных элементов, откуда и получаем утверждение теоремы^[18]. □

Рассмотрим теперь произвольную матрицу из ${\displaystyle 2p}$ строк и ${\displaystyle p}$ столбцов

${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}\mathbf {V} ^{(p,\,p)}\\\mathbf {W} ^{(p,\,p)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {V} \\\mathbf {W} \end{pmatrix}}}$

такую, что квадратные матрицы размера ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {U} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {U}} >0}$ (то есть все элементы матрицы больше нуля) и ${\displaystyle \mathbf {U} ^{T}\mathbf {J} \mathbf {U} =\mathbf {0} }$. Другими словами, ${\displaystyle \mathbf {V} ^{(p,\,p)}}$ — произвольная матрица, а ${\displaystyle \mathbf {W} ^{(p,\,p)}}$ — произвольная матрица такая, что выполняются соотношения ${\displaystyle \mathbf {W} ^{T}\mathbf {\bar {W}} >\mathbf {V} ^{T}\mathbf {\bar {V}} }$ и ${\displaystyle \mathbf {V} ^{T}\mathbf {W} =\mathbf {W} ^{T}\mathbf {V} }$^[18].

Биекция ${\displaystyle \mathbf {U} \to \mathbf {GU} }$ переводит множество матриц ${\displaystyle \mathbf {U} }$ в себя, то есть сохраняет множества ${\displaystyle \mathbf {U} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {U}} }$ и ${\displaystyle \mathbf {U} ^{T}\mathbf {J} \mathbf {U} }$➤^[18].

Предложение 3 (о существовании области ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} }$, ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}=\mathbf {Z} }$). В пространстве ${\displaystyle M_{p,\,p}}$ комплексных матриц размера ${\displaystyle p\times p}$ множество матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{(p,\,p)}=\mathbf {V} \mathbf {W} ^{-1}}$ образует область ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} }$, ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}=\mathbf {Z} }$^[19].

Доказательство. Любая матрица ${\displaystyle \mathbf {W} }$ невырождена и имеет обратную➤, следовательно, ограничения матриц ${\displaystyle \mathbf {V} }$ и ${\displaystyle \mathbf {W} }$ принимают следующий вид➤^[19]:

${\displaystyle (\mathbf {V} \mathbf {W} ^{-1})^{T}({\overline {\mathbf {V} W^{-1}}})<\mathbf {E} _{p}}$, ${\displaystyle \,\,(\mathbf {V} \mathbf {W} ^{-1})^{T}=\mathbf {V} W^{-1}}$,

то есть ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} }$, или ${\displaystyle {\overline {\mathbf {Z} ^{T}}}\mathbf {\bar {\bar {Z}}} =\mathbf {Z} ^{*}\mathbf {Z} <\mathbf {E} }$, и ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}=\mathbf {Z} }$. □

Предложение 4 (о выполнении условия (s¹)➤). Множество всех матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{(p,\,p)}}$, удовлетворяющих условиям ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} _{p}}$ и ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}=\mathbf {Z} }$, есть ограниченная область в комплексном пространстве размерности ${\displaystyle {\frac {p(p+1)}{2}}}$^[19].

Доказательство. Первое условие ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} _{p}}$ говорит об ограниченности области➤, второе условие ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}=\mathbf {Z} }$ делает матрицы ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ симметричными, поэтому независимы только элементы главной диагонали и элементы выше неё (или ниже) в следующем количестве^[19]:

${\displaystyle p+{\frac {p^{2}-p}{2}}={\frac {p(p+1)}{2}}}$. □

Предложение 5. Область ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} _{p}}$, ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}=\mathbf {Z} }$ инвариантна относительно группы следующих дробно-линейных преобразований➤^[19]:

${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1}}$,

где

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{0}\mathbf {O} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {C} =\mathbf {T} \mathbf {A} =\mathbf {T} \mathbf {A} _{0}\mathbf {O} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {D} =\mathbf {\bar {A}} =\mathbf {\bar {A}} _{0}\mathbf {\bar {O}} }$,

${\displaystyle \,\,\mathbf {B} =\mathbf {\bar {C}} =\mathbf {\bar {T}} \mathbf {\bar {A}} _{0}\mathbf {\bar {O}} }$.

Предложение 6. Группа дробно-линейных преобразований

${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1}}$

зависит от ${\displaystyle p(2p+1)}$ вещественных параметров, столько же имеет и группа матриц ${\displaystyle \mathbf {G} }$➤^[19].

Доказательство. В тождественное преобразование переходят➤ из матриц ${\displaystyle \mathbf {G} }$ только две матрицы: ${\displaystyle \pm \mathbf {E} _{2p}}$^[19].

Предложение 7 (о выполнении условия (s²)➤). Группа дробно-линейных преобразований

${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1}}$

транзитивна в области

${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} _{q}}$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {Z} ^{T}=\mathbf {Z} }$,

то есть эта область однородна^[19].

Предложение 8. Группа дробно-линейных преобразований

${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1}}$

включает преобразование

${\displaystyle \mathbf {Z} \to e^{i\theta }\mathbf {Z} }$,

получаемое, когда

${\displaystyle \mathbf {A} =e^{i{\frac {\theta }{2}}}\mathbf {E} _{p},\,\,}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} =0,\,\,}$${\displaystyle \mathbf {D} =e^{-i{\frac {\theta }{2}}}\mathbf {E} _{p},}$

где ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$^[19].

Следствие 1 (о выполнении условия (s³)➤. Эта группа дробно-линейных преобразований включает преобразование ${\displaystyle \mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} }$ — инволюцию с единственной неподвижной матрицей ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {0} }$^[19].

Предложение 9. Группа дробно-линейных преобразований

${\displaystyle \mathbf {Z} \to (\mathbf {A} \mathbf {Z} +\mathbf {B} )(\mathbf {C} \mathbf {Z} +\mathbf {D} )^{-1}}$

есть полная группа голоморфных автоморфизмов области ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}\mathbf {\bar {Z}} <\mathbf {E} _{q}}$, ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{T}=\mathbf {Z} }$^[19].

Обозначим через ${\displaystyle p}$ натуральное число. Будем рассматривать группу линейных преобразований с вещественными коэффициентами ${\displaystyle p+2}$ комплексных переменных, которые не меняют квадратичную форму

${\displaystyle -t_{1}^{2}-\cdots -t_{p}^{2}+t_{p+1}^{2}+t_{p+2}^{2}=(\mathbf {t} ,\,\mathbf {H} \mathbf {t} )=\mathbf {t} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {t} ,}$

где

${\displaystyle \mathbf {t} ={\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{p+2}\end{pmatrix}},\quad }$ ${\displaystyle \mathbf {t} ^{T}={\begin{pmatrix}t_{1}\cdots t_{p+2}\end{pmatrix}},\quad }$ ${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}-\mathbf {E} _{p}&0\\0&\mathbf {E} _{2}\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{p}}$, ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$ — единичные матрицы соответственно размеров ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle 2}$^[19].

Другими словами, будем рассматривать группу линейных преобразований ${\displaystyle \Gamma }$ с квадратной матрицей ${\displaystyle \mathbf {G} }$, то есть группу линейных преобразований пространства ${\displaystyle M_{p+2}}$ квадратных комплексных матриц размера ${\displaystyle (p+2)\times (p+2)}$, отвечающей равенствам

${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {\bar {G}} }$, ${\displaystyle \,\,\mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {G} =\mathbf {H} }$

и зависящей от ${\displaystyle {\frac {(p+1)(p+2)}{2}}}$ вещественных параметров: на ${\displaystyle (p+2)^{2}}$ вещественных чисел матрицы ${\displaystyle \mathbf {G} }$ накладываются ограничения в виде ${\displaystyle {\frac {(p+2)(p+3)}{2}}}$ уравнений в силу симметричности вещественной матрицы ${\displaystyle \mathbf {G} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {G} }$^[19].

В ${\displaystyle (p+2)}$-мерном комплексном пространстве рассмотрим взаимно-однозначные отображения ${\displaystyle \mathbf {t} \to \mathbf {G} \mathbf {t} }$. Множество точек ${\displaystyle M_{t}}$ этого пространства, которое определяется двумя условиями

${\displaystyle \mathbf {t} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {t} =-t_{1}^{2}-\cdots -t_{p}^{2}+t_{p+1}^{2}+t_{p+2}^{2}=0}$,

${\displaystyle \mathbf {t} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {t}} =-|t_{1}|^{2}-\cdots -|t_{p}|^{2}+|t_{p+1}|^{2}+|t_{p+2}|^{2}>0}$,

переходит само в себя при этих преобразованиях ${\displaystyle \mathbf {t} \to \mathbf {G} \mathbf {t} }$^[19].

Предложение 1. ${\displaystyle \operatorname {Im} {\frac {t_{p+1}}{t_{p+2}}}\neq 0}$^[19].

Доказательство. Числа ${\displaystyle t_{p+1}}$ и ${\displaystyle t_{p+2}}$ обладают двумя свойствами: они оба не равны нулю и не принадлежат никакой прямой, которая проходит через начало координат. В противном случае

${\displaystyle |t_{p+1}^{2}+t_{p+2}^{2}|=|t_{p+1}|^{2}+|t_{p+2}|^{2}}$,

${\displaystyle |t_{1}^{2}+\cdots +t_{p}^{2}|>|t_{1}|^{2}+\cdots +|t_{p}|^{2}}$,

что противоречит неравенству треугольника^[20]. □

Предложение 2. Все линейные преобразования группы ${\displaystyle \Gamma }$, которые сохраняют знак числа ${\displaystyle \operatorname {Im} {\frac {t_{p+1}}{t_{p+2}}}}$, образуют подгруппу ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ индекса 2^[21].

Доказательство. Точечное множество ${\displaystyle M_{t}}$ есть объединение двух непересекающихся подмножеств, каждое из которых содержит точки только с определенным знаком ${\displaystyle \operatorname {Im} {\frac {t_{p+1}}{t_{p+2}}}}$. Преобразования группы ${\displaystyle \Gamma }$ либо сохраняют знак ${\displaystyle \operatorname {Im} {\frac {t_{p+1}}{t_{p+2}}}}$ для всех точек ${\displaystyle M_{t}}$, либо для всех точек изменяют его на противоположный^[21]. □

Рассмотрим подгруппу ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ и новое множество точек ${\displaystyle M_{t}^{+}}$, которое задаётся следующими условиями^[21]:

${\displaystyle \mathbf {t} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {t} =-t_{1}^{2}-\cdots -t_{p}^{2}+t_{p+1}^{2}+t_{p+2}^{2}=0}$,

${\displaystyle \mathbf {t} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {\bar {t}} =-|t_{1}|^{2}-\cdots -|t_{p}|^{2}+|t_{p+1}|^{2}+|t_{p+2}|^{2}>0}$,

${\displaystyle \operatorname {Im} {\frac {t_{p+1}}{t_{p+2}}}>0}$.

Предложение 3 (о выполнении условия (s¹)➤). Переход к неоднородным координатам переводит множество ${\displaystyle M_{t}^{+}}$ в ограниченную область

${\displaystyle \sum _{k=1}^{p}|z_{k}|^{2}<{\frac {1}{2}}\left(1+\left|\sum _{k=1}^{p}z_{k}^{2}\right|^{2}\right)<1}$

в ${\displaystyle p}$-мерном комплексном пространстве^[21].

Доказательство. Разделим первое условие определения множества ${\displaystyle M_{t}^{+}}$ на ${\displaystyle (t_{p+1}+it_{p+2})^{2}}$, получим^[21]:

${\displaystyle \left({\frac {t_{1}^{2}}{t_{p+1}+it_{p+2}}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {t_{p}^{2}}{t_{p+1}+it_{p+2}}}\right)^{2}={\frac {t_{p+1}-it_{p+2}}{t_{p+1}+it_{p+2}}}}$.

Разделим второе условие определения множества ${\displaystyle M_{t}^{+}}$ на ${\displaystyle |t_{p+1}+it_{p+2}|^{2}}$, при учёте того, что

${\displaystyle {\frac {|t_{p+1}|^{2}+|t_{p+2}|^{2}}{|t_{p+1}+it_{p+2}|^{2}}}={\frac {|t_{p+1}-it_{p+2}|^{2}+|t_{p+1}+it_{p+2}|^{2}}{2|t_{p+1}+it_{p+2}|^{2}}}}$,

получим^[21]:

${\displaystyle \left|{\frac {t_{1}}{t_{p+1}+it_{p+2}}}\right|^{2}+\cdots +\left|{\frac {t_{p}}{t_{p+1}+it_{p+2}}}\right|^{2}<}$

${\displaystyle {}<{\frac {1}{2}}\left(1+\left|{\frac {t_{p+1}-it_{p+2}}{t_{p+1}+it_{p+2}}}\right|^{2}\right)}$.

Третье условие, согласно формуле деления комплексных чисел, равносильно

${\displaystyle \operatorname {Im} t_{p+1}\operatorname {Re} t_{p+2}-\operatorname {Re} t_{p+1}\operatorname {Im} t_{p+2}>0}$,

откуда получаем следующее неравенство^[21]:

${\displaystyle \left|{\frac {t_{p+1}-it_{p+2}}{t_{p+1}+it_{p+2}}}\right|<1}$.

Итак, при

${\displaystyle z_{k}={\frac {t_{k}}{t_{p+1}+it_{p+2}}},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,\dots ,\,p,}$

множество ${\displaystyle M_{t}^{+}}$ перейдёт в ограниченную область

${\displaystyle |z_{1}|^{2}+\dots |z_{p}|^{2}<{\frac {1}{2}}(1+|z_{1}^{2}+\dots z_{p}^{2}|^{2})<1}$,

а группа линейных преобразований — в группу с ${\displaystyle {\frac {(p+1)(p+2)}{2}}}$ вещественными параметрами дробно-линейных преобразований этой области на себя^[21]. □

Предложение 4 (о выполнении условия (s²)➤). Указанная выше группа дробно-линейных преобразований транзитивна в указанной области, то есть эта область однородна^[6].

Предложение 5 (о выполнении условия (s³)➤. Пусть ${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {H} }$, тогда имеем преобразование ${\displaystyle z\to -z}$ — инволюцию с единственной неподвижной точкой ${\displaystyle z=0}$^[6].

В итоге получили, что построенная область симметрична^[6].

Оказывается, что симметрическая область типа IV при ${\displaystyle p=2}$ приводима. С другой стороны, все остальные симметрические области четырёх типов неприводимы, но среди них имеются одинаковые области^[6]:

• для типа I перемена местами ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ не меняет области;
• единичный круг на плоскости получается:

• в типе I при ${\displaystyle p=q=1}$,
• в типе II при ${\displaystyle p=2}$,
• в типе III при ${\displaystyle p=1}$,
• в типе IV при ${\displaystyle p=1}$;

• тип I при ${\displaystyle p=3}$, ${\displaystyle q=1}$ совпадает с типом II при ${\displaystyle p=3}$;
• тип I при ${\displaystyle p=q=2}$ совпадает с типом IV при ${\displaystyle p=4}$;
• тип III при ${\displaystyle p=2}$ совпадает с типом IV при ${\displaystyle p=3}$.

В итоге различные неприводимые области получатся, если потребовать^[6]:

• для типа I: ${\displaystyle p\geqslant q}$,
• для типа II: ${\displaystyle p\geqslant 4}$,
• для типа III: ${\displaystyle p\geqslant 2}$,
• для типа IV: ${\displaystyle p\geqslant 5}$.

Таким образом, для ${\displaystyle n}$-мерного комплексного пространства число ${\displaystyle \psi (n)}$ классов неприводимых симметрических областей равно общему количеству разбиений числа ${\displaystyle n}$ одним из следующих шести способов^[6]:

${\displaystyle n=pq}$, ${\displaystyle \,p\geqslant q}$; ${\displaystyle \quad n={\frac {1}{2}}p(p-1)}$, ${\displaystyle \,p\geqslant 4}$;

${\displaystyle n={\frac {1}{2}}p(p+1)}$, ${\displaystyle \,p\geqslant 2}$; ${\displaystyle \quad n=p}$, ${\displaystyle \,p\geqslant 5}$;

${\displaystyle n=16}$; ${\displaystyle \quad n=27}$.

Все эти неприводимые области топологически, но не аналитически, эквивалентны комплексному пространству ${\displaystyle n}$ измерений^[6].

Чтобы построить все ограниченные симметрические области ${\displaystyle n}$-мерного комплексного пространства, нужно перебрать все прямые произведения неприводимых областей, составляющие ${\displaystyle n}$-мерную область. Следовательно, производящая функция для числа ${\displaystyle \Psi (n)}$ классов всех ограниченных симметрических областей (как приводимых, так и неприводимых) ${\displaystyle n}$-мерного комплексного пространства имеет следующий вид^[6]:

${\displaystyle {\frac {1}{\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})^{\psi (n)}}}}$.

Методом Харди и Рамануджана можно показать, что функция ${\displaystyle \Psi (n)}$ выражается через «o» малое ${\displaystyle o}$ и дзета-функцию Римана ${\displaystyle \zeta }$^[6]:

${\displaystyle \Psi (n)=\exp \left((1+o(1)){\sqrt {\zeta (3)n\ln n}}\right)}$.

Тип I. Одна из разновидностей области Зигеля первого рода: множество комплексных квадратных матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ порядка ${\displaystyle p}$, где ${\displaystyle \mathbf {X} }$ — произвольная эрмитова, а ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ — положительно определённая эрмитова матрица. Эта область симметрическая с инволюцией ${\displaystyle \mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} ^{-1}}$ в точке ${\displaystyle \mathbf {Z} =i\mathbf {E} }$, она аналитически эквивалентна симметрической области типа I с условием ${\displaystyle p=q}$^[22].

Тип II. Одна из разновидностей области Зигеля первого рода: множество комплексных квадратных матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ порядка ${\displaystyle 2p}$, где

${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {X} }}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {X} ^{*}=\mathbf {X} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {Y} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {Y} }}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {Y} ^{*}=\mathbf {Y} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {Y} >0}$,

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {j} \end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$,

другими словами, ${\displaystyle \mathbf {Z} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {Z} }}}$ и матрица ${\displaystyle {\frac {1}{i}}(\mathbf {Z} -\mathbf {Z} ^{*})}$ положительно определена. Эта область симметрическая с инволюцией ${\displaystyle \mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} ^{-1}}$ в точке ${\displaystyle \mathbf {Z} =i\mathbf {E} }$, она аналитически эквивалентна симметрической области типа II с чётным ${\displaystyle p}$^[23].

Тип III. Одна из разновидностей области Зигеля первого рода: множество симметрических комплексных матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ порядка ${\displaystyle p}$, где ${\displaystyle \mathbf {X} }$ — произвольная вещественная симметрическая матрица, а ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ — вещественная симметрическая положительно определённая матрица. Эта область симметрическая с инволюцией ${\displaystyle \mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} ^{-1}}$ в точке ${\displaystyle \mathbf {Z} =i\mathbf {E} }$, она аналитически эквивалентна симметрической области типа III. Обычно её называют обобщённой верхней полуплоскостью Зигеля^[23].

Тип IV. Одна из разновидностей области Зигеля первого рода: множество всех точек ${\displaystyle z=x+iy}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, где ${\displaystyle x}$ — произвольное, а ${\displaystyle y}$ лежит на конусе. Эта область симметрическая с инволюцией

${\displaystyle z=(z_{1},\,z_{2},\,z_{3},\,\dots ,\,z_{n})\to \left({\frac {-z_{2}}{\lambda (z)}},\,{\frac {-z_{1}}{\lambda (z)}},\,{\frac {z_{3}}{\lambda (z)}},\,\dots ,\,{\frac {z_{n}}{\lambda (z)}}\right),}$

${\displaystyle \lambda (z)=z_{1}z_{2}-z_{3}^{2}-\cdots -z_{n}^{2}}$

в точке ${\displaystyle z=(i,\,i,\,0,\,\dots ,\,0),}$ она аналитически эквивалентна симметрической области типа IV^[24].

Несимметрических областей в некотором смысле больше, чем симметрических^[7].

Пример 1. Простейшая несимметрическая однородная ограниченная (точнее, аналитически эквивалентная ограниченной) область^[25][26] — это область Зигеля первого рода в 4-мерном комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}(z_{1},\,z_{2},\,z_{3},\,u)}$, которая задана следующими неравенствами^[27][26]:

${\displaystyle \operatorname {Im} z_{1}-|u|^{2}>0}$, ${\displaystyle \quad (\operatorname {Im} z_{1}-|u|^{2})\operatorname {Im} z_{2}-(\operatorname {Im} z_{3})^{2}>0}$,

а остов этой области задан следующими уравнениями^[26]:

${\displaystyle \operatorname {Im} z_{1}-|u|^{2}=\operatorname {Im} z_{2}=\operatorname {Im} z_{3}=0}$.

Пример 2. Другая простейшая несимметрическая однородная ограниченная (точнее, аналитически эквивалентная ограниченной) область^[26] — это область Зигеля первого рода в 5-мерном комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}(z_{1},\,z_{2},\,z_{3},\,u_{1},\,u_{2})}$, которая задана следующими неравенствами^[26]:

${\displaystyle \operatorname {Im} z_{1}-|u_{1}|^{2}>0}$,

${\displaystyle (\operatorname {Im} z_{1}-|u_{1}|^{2})(\operatorname {Im} z_{2}-|u_{2}|^{2})-(\operatorname {Im} z_{3}-\operatorname {Re} u_{1}{\bar {u}}_{2})^{2}>0}$,

а остов этой области задан следующими уравнениями^[26]:

${\displaystyle \operatorname {Im} z_{1}-|u_{1}|^{2}=\operatorname {Im} z_{2}-|u_{2}|^{2}=\operatorname {Im} z_{3}-\operatorname {Re} u_{1}{\bar {u}}_{2}=0}$.

1. ↑ ^{1 2} Имеется перевод на английский язык.
2. ↑ Эта теорема используется для доказательства симметричности областей.

1. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, Введение, с. 10.
2. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12} Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, 1954, § 45. Об одной работе Э. Картана, с. 119.
3. ↑ Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, Глава II. Геометрия классических областей, с. 39.
4. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9} Винберг Э. Б. Симметрическая область, 1984.
5. ↑ ^{1 2 3} Винберг Э. Б. Однородная ограниченная область, 1982.
6. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, 1954, § 47. Четыре главных типа неприводимых ограниченных симметрических областей, с. 126.
7. ↑ ^{1 2} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 18. Однородные области Зигеля 2-го рода, с. 158.
8. ↑ Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, Введение, с. 11.
9. ↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, 1976, 37. Конформные изоморфизмы и автоморфизмы, с. 220.
10. ↑ Домрин А. В., Сергеев А. Г. Лекции по комплексному анализу. Т. 2, 2004, 17.1. Автоморфизмы основных областей, с. 195.
11. ↑ ^{1 2 3} Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, 1954, § 45. Об одной работе Э. Картана, с. 118.
12. ↑ Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, 1954, § 47. Четыре главных типа неприводимых ограниченных симметрических областей, с. 120—121.
13. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, 1954, § 47. Четыре главных типа неприводимых ограниченных симметрических областей, с. 121.
14. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11} Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, 1954, § 47. Четыре главных типа неприводимых ограниченных симметрических областей, с. 122.
15. ↑ Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, 1954, § 47. Четыре главных типа неприводимых ограниченных симметрических областей, с. 121—122.
16. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, 1954, § 47. Четыре главных типа неприводимых ограниченных симметрических областей, с. 123.
17. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17} Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, 1954, § 47. Четыре главных типа неприводимых ограниченных симметрических областей, с. 124.
18. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11} Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, 1954, § 47. Четыре главных типа неприводимых ограниченных симметрических областей, с. 125.
19. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15} Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, 1954, § 47. Четыре главных типа неприводимых ограниченных симметрических областей, с. 126.
20. ↑ Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, 1954, § 47. Четыре главных типа неприводимых ограниченных симметрических областей, с. 126—127.
21. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8} Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, 1954, § 47. Четыре главных типа неприводимых ограниченных симметрических областей, с. 126.
22. ↑ Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, $ 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 17.
23. ↑ ^{1 2} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, $ 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 18.
24. ↑ Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, $ 1. Области Зигеля 1-го рода, с. 19.
25. ↑ Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 4. Многообразия Кобаяси, с. 38.
26. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 18. Однородные области Зигеля 2-го рода, с. 159.
27. ↑ Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 4. Многообразия Кобаяси, с. 37.

• Винберг Э. Б. Однородная ограниченная область // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1982. — Т. 3 Коо—Од. — Стб. 1172—1173. — 1184 стб., ил. — 150 000 экз.
• Винберг Э. Б. Симметрическая область // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1984. — Т. 4 Ок—Сло. — Стб. 1142—1143. — 1216 стб., ил. — 148 900 экз.
• Домрин А. В., Сергеев А. Г. Лекции по комплексному анализу (рус.). Второе полугодие. — М.: МИАН, 2004. — Т. 2. — 289 с., ил. — 200 экз. — ISBN 5-98419-008-7 (ч. II). — ISBN 5-98419-006-0.
• Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных = Siegel C. L. Analytic functions of several complex variables(1948—1949) (рус.) / пер. с англ. И. И. Пятецкого-Шапиро под ред. И. Р. Шафаревича. — М.: «Издательство иностранной литературы», 1954. — 167,[1] с.
• Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций (рус.). — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1961. — 191 с. — (Современные проблемы математики). — 5000 экз.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ (рус.). Часть I. Функции одного переменного. — 2-е изд, перераб. и доп. — М.: «Наука», 1976. — Т. 1. — 320 с., ил. — 20 000 экз.

• Jacques Faraut, Soji Kaneyuki, Ádám Korányi^[англ.], Qi-keng Lu, Guy Roos. Analysis and geometry on complex homogeneous domains (англ.). — New York: Springer Science+Business Media, LLC, 2000. — XII+540 p. — (Progress in mathematicss (Boston, Mass.); v. 185). — ISBN 1-58488-448-7. — ISBN 978-1-4612-1366-6 (eBook). — doi:10.1007/978-1-4612-1366-6.
• Sigurdur Helgason^[англ.]. Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces (англ.) / H. Bass, A. Borel, S.-T. Yau, editors. — Boston · San Diego · New York · London · Sydney · Tokyo · Toronto: Academic Press, 1978. — XVI+634 p. — (Pure and applied mathematics). — ISBN 0-12-338460-5.
• Soji Kaneyuki. Homogeneous Bounded Domains and Siegel Domains (англ.) / adviser: E. Vesentini^[англ.]. — Berlin · Heidelberg · New York: Springer-Verlag, 1971. — V+89 p. — (Scuola Normale Supenore, Plsa). — ISBN 3-540-05702-1. — ISBN 0-387-05702-1.
• Steven G. Krantz^[англ.]. Function Theory of Several Complex Variables (англ.). — Second edition. 1992 held by the American Mathematical Society. Printed with corrections, 2001. — Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing^[англ.], 1951. — XVI+564 p. — ISBN 0-8218-2724-3 (alk. paper).