Теорема сумм-произведений

Теорема сумм-произведений — теорема арифметической комбинаторики, устанавливающая неструктурированность любого достаточно большого множества относительно хотя бы одной из операций поля (сложения и умножения). В качестве показателя структурированности используются, соответственно, размеры множества сумм и множества произведений.

Пусть ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }}$ — подмножество некоторого кольца ${\displaystyle {\mathbb {F} }}$ (обычно ${\displaystyle {\mathbb {F} }}$ является полем, но формально можно рассматривать и кольцо) с операциями ${\displaystyle +}$ и ${\displaystyle \cdot }$. Рассматриваются два производных от ${\displaystyle A}$ множества:

${\displaystyle A+A=\left\lbrace {a_{1}+a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace }$

${\displaystyle A\times A=\left\lbrace {a_{1}\cdot a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace }$

Если множество ${\displaystyle A}$ структурировано относительно сложения (например, в нём много арифметических прогрессий, или обобщённых арифметических прогрессий, или их больших кусков), то множество ${\displaystyle A+A}$ будет относительно невелико — ведь суммы многих пар элементов совпадут.

Если же ${\displaystyle A}$ структурировано относительно умножения, то не очень большим будет множество ${\displaystyle A\times A}$, по аналогичным причинам.

Теорема утверждает, что хотя бы одно из множеств ${\displaystyle A+A}$ и ${\displaystyle A\times A}$ очень велико относительно ${\displaystyle A}$, то есть относительно хотя бы одной из операций структура будет нерегулярна.

Конкретнее, теорема устанавливает степенной рост размера большего из производных множеств относительно размера исходного:

Для разных колец удаётся получить оценки с разными ${\displaystyle \delta }$. Также для некоторых (особенно для конечных) колец возможно добавление условий на размер множества ${\displaystyle A}$, при которых выполняется теорема для данного ${\displaystyle \delta }$.

Наиболее удобными для изучения оказываются крайние случаи гипотезы:

• few sums, many product (FSMP): если ${\displaystyle |A+A|\ll |A|}$, то ${\displaystyle |AA|\geq |A|^{2-o(1)}}$^[1]
• few products, many sums (FPMS): если ${\displaystyle |AA|\ll |A|}$, то ${\displaystyle |A+A|\geq |A|^{2-o(1)}}$^[2]

Классическими примерами для иллюстрации теоремы сумм-произведений являются арифметическая прогрессия ${\displaystyle A=\left\lbrace {1,\dots ,n}\right\rbrace }$ и геометрическая прогрессия ${\displaystyle B=\left\lbrace {1,2,4,\dots ,2^{n-1}}\right\rbrace }$.

Арифметическая прогрессия максимально упорядочена относительно сложения, так что ${\displaystyle |A+A|<2|A|}$, однако из её чисел можно составить много разных произведений, так что ${\displaystyle |A\times A|=\Omega \left({\frac {|A|^{2}}{\log |A|}}\right)}$^[3], так что относительно умножения она совершенно неупорядоченна.

Точно так же для геометрической прогрессии выполнено ${\displaystyle |B\times B|<2|B|}$, но очевидно (если рассмотреть двоичное представление чисел), что ${\displaystyle |B+B|=\Omega (|B|^{2})}$.

При ${\displaystyle {\mathbb {F} }={\mathbb {R} }}$ теорема сумм-произведений иногда называется также теоремой Эрдёша-Семереди, поскольку именно они в 1983 году подняли вопрос рассмотрения соотношения количеств сумм и произведений. В той же работе они выдвинули гипотезу о том, что величина ${\displaystyle \varepsilon }$ может быть сколь угодно близка к единице (то есть ${\displaystyle \max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >|A|^{2-o(1)}}$). Однако В той же статье они выдвинули ещё несколько гипотез, в частности, аналогичную для ${\displaystyle k}$ слагаемых и множеств: ${\displaystyle \max \left\lbrace {|A+\dots +A|,|A\times \dots \times A|}\right\rbrace >|A|^{k-o(1)}}$.

Хронология улучшения ${\displaystyle \delta }$ в оценке ${\displaystyle \max\{|A+A|,|AA|\}\geq |A|^{1+\delta -o(1)},\ A\subset {\mathbb {R} }}$
Год	Значение ${\displaystyle \delta }$	Автор(ы)
1983	${\displaystyle 1/31}$(*)(**)	Эрдёш, Семереди[4] ${\displaystyle 1+\delta }$ вместо ${\displaystyle 1+\delta -o(1)}$
1998	${\displaystyle 1/15}$(*)(**)	Форд[англ.][5]
1997	${\displaystyle 1/4}$(**)	Элекеш[англ.][6]
2005	${\displaystyle 3/11}$	Шоймоши[англ.][7]
2009	${\displaystyle 1/3}$	Шоймоши[8]
2015	${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{20598}}\approx 0.333381...}$	Конягин, Шкредов[9]
2016	${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {5}{9813}}\approx 0.333842...}$	Конягин, Шкредов[10]
2016	${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{1509}}\approx 0.333996...}$	Руднев, Шкредов, Стивенс[11]
2019	${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {5}{5277}}\approx 0.334280...}$	Шакан[12]
2020 (препринт)	${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {2}{1167}}\approx 0.335047...}$	Руднев, Стивенс[13]
(*) Только для ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }}$ (**) Верно и для степени ${\displaystyle 1+\delta }$ вместо ${\displaystyle 1+\delta -o(1)}$

Теренс Тао в своей монографии отмечает, что задача о получении аналога результата Эрдёша и Семереди в полях ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p}}$ была поставлена в 1999 г. Т. Вольфом (в частной беседе) для подмножеств ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{p}}$ мощности порядка ${\displaystyle p^{1/2}}$.

Задача сумм-произведений в ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p}}$ была решена в работах Бургейн, Глиббичука и Конягина и Бургейна, Каца и Тао. Они доказали следующую теорему

В условии теоремы требование ${\displaystyle |A|<p^{1-\varepsilon }}$ является естественным, так как если ${\displaystyle |A|}$ имеет порядок близкий к ${\displaystyle p}$, то обе величины ${\displaystyle |A+A|}$ и ${\displaystyle |A\times A|}$ будут по порядку близки к ${\displaystyle |A|}$.^[14]

Теренс Тао исследовал границы возможностей обобщения теоремы на произвольные кольца и, в частности, связь экстремальных случаев малых значений ${\displaystyle |A+A|}$ и ${\displaystyle |A\cdot A|}$ с количеством делителей нуля в множестве ${\displaystyle A}$ и близостью его структуры к подкольцу.^[15]

Доказательство Эрдёша и Семереди использовало тот факт, что при малых ${\displaystyle |A+A|}$ и ${\displaystyle |A\times A|}$ существует решение системы

${\displaystyle {\begin{cases}b_{1}+b_{3}=b_{2}+b_{4}\\b_{1}b_{5}=b_{2}b_{6}\ ,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle b_{i}}$ принадлежат некоторым (разным) подмножествам ${\displaystyle A}$, а на само множество ${\displaystyle A}$ налагаются специальные условия. Используя такое утверждение как лемму, можно доказать теорему и для произвольного множества ${\displaystyle A}$.^[16]

Если все элементы ${\displaystyle a\in A}$ имеют много представлений в виде ${\displaystyle a=p_{1}p_{2},\ p_{1}\in \Pi _{1},\ p_{2}\in \Pi _{2}}$ для некоторых небольших множеств ${\displaystyle \Pi _{1}\Pi _{2}}$, то для оценки числа решений уравнения

${\displaystyle a+b=c,\ a\in A,\ b\in B,\ c\in C\ .}$

с любыми множествами ${\displaystyle B,C}$ можно использовать уравнение

${\displaystyle p_{1}p_{2}+b=c,\ p_{1}\in \Pi _{1},\ p_{2}\in \Pi _{2},\ b\in B,\ c\in C\ .}$

С другой стороны, решения такого уравнения соответствуют инциденциям между прямыми, которые параметризуются парами ${\displaystyle (p_{1},b)}$, и точками, которые параметризуются парами ${\displaystyle (p_{2},c)}$. Поэтому для их оценки оказывается удобно использовать общие результаты об инциденциях, наилучший из которых — теорема Семереди — Троттера.^[17][18]

Именно это использовал Элекеш при доказательстве теоремы с показателем ${\displaystyle \delta ={\frac {1}{4}}}$.^[6] Неявно его доказательство можно разделить на два этапа:

• анализ уравнения ${\displaystyle a+b=c,\ a\in A,b\in B,c\in C}$ (тривиально, с помощью разложения ${\displaystyle \Pi _{1}:=AA,\ \Pi _{2}:=1/A}$)
• применение полученных оценок (тривиально, для ${\displaystyle B:=A,\ C:=A+A}$)

Такая декомпозиция важна для осмысления возникших позже методов.

Шоймоши использовал тот факт, что если ${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$, то

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}\ .}$

Из этого следует, что если ${\displaystyle {\frac {a_{1}}{b_{1}}}<{\frac {a_{2}}{b_{2}}}<{\frac {a_{3}}{b_{3}}}}$, то

${\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}}{b_{1}+b_{2}}}<{\frac {a_{2}+a_{3}}{b_{2}+b_{3}}}\ .}$

В то же время при фиксированных значениях ${\displaystyle \lambda \in A/A,\ \mu \in A/A}$ все пары ${\displaystyle (a+c,b+d)}$, образуемые представлениями

${\displaystyle \lambda ={\frac {a}{b}},\ \mu ={\frac {c}{d}},\ a,b,c,d\in A}$

будут различны, поэтому, просуммировав их по «соседним» парам ${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$, можно получить оценку на ${\displaystyle |A+A|}$ в терминах числа таких представлений. А оно, в свою очередь, выражается (опосредовано) через ${\displaystyle |AA|}$.^[19]

Наиболее наглядно эту идею можно выразить геометрически, как суммирование точек из ${\displaystyle A\times A}$, которые лежат на соседних прямых, исходящих из центра координат.

Если в конструкции Шоймоши убрать условие о том, что суммируемые точки должны принадлежать соседним прямым, то уже ничто не будет гарантировать, что все получающиеся суммы будут различны. Например, вообще все суммы точек из ${\displaystyle A\times A}$ могут быть различны только в экстремальном случае ${\displaystyle |A+A|\gg |A|^{2}}$, а он уже удовлетворяет гипотезе сумм-произведений.

Исходя из этого, Конягин и Шкредов оценили минимальное число совпадений таких сумм в промежуточном случае (когда ${\displaystyle |A+A|}$ и ${\displaystyle |AA|}$ равны нижней оценке, то есть ${\displaystyle |A|^{4/3}}$). Чтобы оценить число совпадений, они разбили все прямые на блоки из одинакового числа идущих подряд и оценивали число совпадений в каждом блоке для большинства из них. Используя эти оценки, они получили результат с ${\displaystyle \delta >{\frac {1}{3}}}$.^[20]

Совпадения двух сумм точек, которые рассматривали Конягин и Шкредов, означают наличие решения системы уравнений

${\displaystyle {\begin{cases}\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}=\lambda _{3}a_{3}+\lambda _{4}a_{4}\\a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\ ,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle (a_{i},\lambda _{i}a_{i})\in A\times A}$ и все ${\displaystyle \lambda _{i}}$ и пары ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2}),(\lambda _{3},\lambda _{4})}$ различны. Редуцируя систему по методу Гаусса (в одно действие), можно получить уравнение

${\displaystyle a_{3}=c_{1}a_{1}-c_{2}a_{2}}$

с постоянными ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ и теми же условиями на ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$. Руднев и Стивенс применили это для явного построения мультипликативного разложения большого подмножества ${\displaystyle A}$ с лучшими свойствами, чем у тривиального.^[21]

По аналогии с доказательством Элекеша, это позволяет разделить доказательство оценок с показателем ${\displaystyle \delta ={\frac {1}{3}}+c}$ на два этапа:

• применение нового мультипликативного разложения;
• нетривиальное применение уравнения ${\displaystyle a-b=c}$ для оценки ${\displaystyle |A+A|}$.^[22]

Наиболее популярный путь использования уравнений для оценки ${\displaystyle |A+A|}$ — использование аддитивной энергии и её обобщений. Результаты применения теоремы Семереди-Троттера позволяют лучше всего анализировать уравнения вида

${\displaystyle E_{3}(A,D):=\{(a_{1},a_{2},a_{3},d_{1},d_{2},d_{3})\in A^{3}\times D^{3}\ :\ a_{1}-d_{1}=a_{2}-d_{2}=a_{3}-d_{3}\}}$

для произвольного ${\displaystyle D}$. Руднев и Стивенс предложили метод использования такой аддитивной энергии с помощью рассмотрения уравнения

${\displaystyle d=(a+b)-(a+c)\,\ a,b,c\in A,\ d\in D\ ,}$

где ${\displaystyle D}$ соответствует множеству популярных (с большим количеством представлений) разностей, а ${\displaystyle a+b}$ принадлежит множеству популярных сумм. Кроме задачи сумм-произведений, разработка подобных методов актуальна для оценки сумм выпуклых последовательностей.^[23]

Существует похожий операторный метод, который менее эффективен для оценки ${\displaystyle |A+A|}$, но позволяет лучше изучать связь между ${\displaystyle E(A)}$ и ${\displaystyle |AA|}$.^[24]

При доказательстве теоремы для ${\displaystyle {\mathbb {F} }={\mathbb {F} }_{p}}$ широко используются понятие аддитивной энергии, неравенство Плюннеке — Ружа и оценки Балога-Семереди-Гауэрса. Одно из возможных доказательств использует нижнюю оценку на размер множества ${\displaystyle R(A)=A\left({{\frac {A\times A-A\times A}{A-A}}+A}\right)}$ и тот факт, что из верхних оценок на размеры ${\displaystyle A+A}$ и ${\displaystyle A\times A}$ следует противоречащая нижней верхняя оценка на размер ${\displaystyle R(A)}$.^[25][26]

Бургейн, Глибичук и Конягин^[27] использовали частны случай теоремы при ${\displaystyle {\mathbb {F} }={\mathbb {F} }_{p}}$ для оценки полилинейных тригонометрических сумм. Это, в частности, позволило получить нетривиальные верхние оценки для сумм Гаусса ${\displaystyle {\Bigg \vert }{\sum \limits _{g\in G}{e^{2\pi {\frac {ag}{p}}i}}}{\Bigg \vert }={\Bigg \vert }{\sum \limits _{x=0}^{p-1}{e^{2\pi {\frac {ax^{n}}{p}}i}}}{\Bigg \vert }}$ по малым мультипликативным подгруппам ${\displaystyle G\subset {\mathbb {F} }_{p}^{*},\ |G|={\frac {p-1}{n}}}$.^[28] Бургейн, Кац и Тао, используя этот же случай, усилили оценку в проблеме Семереди-Троттера в ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p}}$, доказав, что для множества пар ${\displaystyle I=\left\lbrace {(p,l):p\in l,p\in P,l\in L}\right\rbrace }$ для множества ${\displaystyle P}$ точек из ${\displaystyle \left({{\mathbb {F} }_{p}}\right)^{2}}$ и прямых ${\displaystyle L}$ при ${\displaystyle |P|=|L|=n}$ выполняеся оценка ${\displaystyle |I|\leq n^{{\frac {3}{2}}-\varepsilon }}$ при некотором ${\displaystyle \varepsilon >0}$. ^[29]

В этой же работе они применили теорему для исследования множеств Какейи в многомерном пространстве ${\displaystyle ({\mathbb {F} }_{p})^{d}}$. Для размера такого множества ими была получена оценка ${\displaystyle |S|>p^{{\frac {d}{2}}+1+10^{-10}}}$.^[26][29]

В той же статье, где Эрдёш и Семереди выдвинули гипотезу о том, что ${\displaystyle \max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >c(\delta )|A|^{2-\delta }}$ для ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} },\ \delta >0}$, они предъявили и пример построения сколь угодно большого множества ${\displaystyle A}$, для которого ${\displaystyle |A+A|+|A\times A|\leq |A|^{2-{\frac {c}{\log \log |A|}}}}$. В качестве такого множества выступало множество чисел, получаемых произведением не более чем ${\displaystyle 2\left\lfloor {\frac {\log x}{6\log \log x}}\right\rfloor }$ простых чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превышает ${\displaystyle (\log x)^{3}}$, где ${\displaystyle x}$ — произвольное достаточно большое число.^[16]

Бургейн и Чанг^[англ.] рассматривали оценки вида

${\displaystyle \max\{|\underbrace {A+\dots +A} _{k}|,|\underbrace {A\times \dots \times A} _{k}|\}\geq |A|^{b(k)}}$

для произвольного ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle b(k)\to \infty }$.^[30]

Во многих работах сложение и умножение соединяют в одном выражении: например, получают безусловные нижние оценки для ${\displaystyle |AA+AA|}$.^[31]

Одно из обобщений гипотезы — вопрос о суммах и произведениях, соответствующие рёбрам произвольного графа на элементах множества.

В отличие от случая ${\displaystyle G=A\times A}$, здесь может не наблюдаться экстремального роста ни сумм, ни произведений: при ${\displaystyle c<1}$ возможна ситуация, когда ${\displaystyle \delta <c}$^[32]. Поэтому кроме нижних оказывается актуален вопрос верхних оценок на ${\displaystyle \max\{|A+A|,|AA|\}}$. Впрочем, нижние оценки тоже исследуются.^[33][34]

Нижние оценки на размер множества сумм легко выводить из верхних оценок на аддитивную энергию, поэтому гипотезу о первых естественно обобщить до гипотезы о вторых, используя аналогичное понятие мультипликативной энергии.

Но у множества чисел вполне могут быть большими одновременно обе энергии, поскольку нижняя оценка может контролироваться вкладом отдельного подмножества. Например, если ${\displaystyle E^{+}(A_{1})\gg |A|^{3},E^{\times }(A_{2})\gg |A|^{3}}$, то для множества ${\displaystyle A=A_{1}\cup A_{2}}$ верно, что

${\displaystyle \min\{E^{+}(A),E^{\times }(A)\}\geq \min\{E^{+}(A_{1}),E^{\times }(A_{2})\}\gg |A|^{3}\ .}$

Поэтому при формулировке соответствующей теоремы об энергиях используется соотношение энергий разных подмножеств.

Наилучший вариант этой теоремы доказан для ${\displaystyle \delta ={\frac {7}{26}}-o(1)}$.^[12] Известно, что аналогичное не верно для ${\displaystyle \delta >{\frac {2}{3}}}$.^[35]

Умножение двух чисел можно представить как функцию от сложения их логарифмов: ${\displaystyle ab=\exp(\log a+\log b)}$. Поэлементное применение строго возрастающей функции ко множеству не меняет его размера, поэтому

${\displaystyle |AA|=|\exp(\log A+\log A)|=|\log A+\log A|}$

и основную гипотезу сумм-произведений можно переформулировать как

${\displaystyle \max\{|A+A|,|\log A+\log A|\}\geq |A|^{2-o(1)}}$

или (подставляя ${\displaystyle A:=\log A}$) как

${\displaystyle \max\{|\exp(A)+\exp(A)|,|A+A|\}\geq |A|^{2-o(1)}\ .}$

Оказывается, что похожие оценки можно доказать для произвольной выпуклой функции вместо ${\displaystyle \exp }$.

Вопрос о том, верны ли такие же оценки с показателем ${\displaystyle 2-o(1)}$ в правой части, остаётся открытым.

Аналогичные результаты получены и для большего числа слагаемых.^[37]

• Гараев М. З. Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка, (рус.) // Успехи математических наук. — Российская академия наук, 2010. — Т. 65, вып. 4 (394). — С. 5—66. — doi:10.4213/rm9367.

• P. Erdös, E. Szemerédi. On sums and products of integers (англ.) // Birkhäuser Verlag. — 1983. — P. 213–218.

• M. Nathanson. On sums and products of integers (англ.) // Proceedings of the American Mathematical. — 1997. — Vol. 125, iss. 1.

• K. Ford. Sums and Products from a Finite Set of Real Numbers (англ.) // The Ramanujan Journal. — 1998. — Vol. 2. — P. 59–66.

• G. Elekes. On the number of sums and products (англ.) // Acta Arithmetica. — 1997. — Vol. 81, iss. 4. — P. 365–367.

• J. Solymosi. Bounding multiplicative energy by the sumset (англ.) // Advances in Mathematics. — 2009. — Vol. 222, iss. 2. — P. 402–408. — arXiv:0806.1040v3.

• S. V. Konyagin, I. D. Shkredov. On sum sets of sets having small product set (англ.) // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2015. — Vol. 290. — P. 288–299. — arXiv:1503.05771.

• S. V. Konyagin, I. D. Shkredov. New results on sum-products in ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ (англ.). — 2016. — arXiv:1602.03473.

• M. Rudnev, I. D. Shkredov, S. Stevens. On The Energy Variant of the Sum-Product Conjecture (англ.) // Revista Matemática Iberoamericana. — 2020. — Vol. 36, iss. 1. — P. 207–232. — arXiv:1607.05053.

• G. Shakan. On higher energy decompositions and the sum–product phenomenon (англ.) // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 2019. — Vol. 167, iss. 3. — P. 599–617. — arXiv:1803.04637.

• M. Rudnev, S. Stevens. An update on the sum-product problem (англ.). — 2020. — arXiv:2005.11145.

• G. Elekes, I. Z. Ruzsa. Few sums, many products (англ.) // Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. — 2003. — Vol. 40, iss. 3. — P. 301–308.

• B. Murphy, M. Rudnev, I. Shkredov, Y. Shteinikov. On the few products, many sums problem (англ.) // Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. — 2019. — Vol. 31, iss. 3. — P. 573–602. — arXiv:1712.00410.

• N. Alon, I. Ruzsa, J. Solymosi. Sums, products and ratios along the edges of a graph (англ.) // Publicacions Matemàtiques. — 2020. — Vol. 64, iss. 1. — P. 143–155. — arXiv:1802.06405.

• N. Alon, O. Angel, I. Benjamini, E. Lubetzky. Sums and products along sparse graphs (англ.) // Israel Journal of Mathematics. — 2012. — Vol. 188, iss. 1. — P. 353–384. — arXiv:0905.0135.

• I. Shkredov, J. Solymosi. The Uniformity Conjecture in Additive Combinatorics (англ.). — 2020. — arXiv:2005.11559.

• J. Solymosi. On the number of sums and products (англ.) // Bulletin of the London Mathematical Society. — 2005. — Vol. 37, iss. 4. — P. 491–494.

• A. Balog, T. D. Wooley. A low-energy decomposition theorem (англ.) // The Quarterly Journal of Mathematics. — 2017. — Vol. 68, iss. 1. — P. 207–226. — arXiv:1510.03309.

• B. Hanson, O. Roche-Newton, M. Rudnev. Higher convexity and iterated sum sets (англ.). — 2020. — arXiv:2005.00125.

• L. Li, O. Roche-Newton. Convexity and a sum-product type estimate (англ.) // Acta Arithmetica. — 2012. — Vol. 156. — P. 247–255. — arXiv:1111.5159v1.

• J. Bourgain, M.-C. Chang. On the size of ${\displaystyle k}$-fold sum and product sets of integers (англ.) // Journal of the American Mathematical Society. — 2004. — Vol. 17, iss. 2. — P. 473–497. — arXiv:math/0309055. — JSTOR 20161203.

• К. И. Ольмезов, А. С. Семченков, И. Д. Шкредов. О популярных суммах и разностях для множеств с малым мультипликативным удвоением (рус.) // Математические заметки. — 2020. — Т. 108, вып. 4. — С. 561–571. — arXiv:1911.12005.