Теория чисел в средневековом исламском мире

Данная статья — часть обзора Математика исламского Средневековья.

Теория чисел была неотъемлемой частью развития математики в исламском мире с IX века. Учёные этого периода не только унаследовали и развили достижения античной математики, но и внесли собственный оригинальный вклад, предвосхитив многие открытия поздней европейской науки. Теоретические исследования чисел сопровождались философскими размышлениями о природе числовых сущностей и их месте в устройстве мира. Развитие теории чисел в исламском мире было обусловлено не только практическими потребностями, но и философскими, а также духовными мотивами^[1].

Одной из групп классических исламских философов, объединявшей философские и математические взгляды, были Братья чистоты (IX–X века). Они толковали природу чисел и связывали её с фундаментальными философскими понятиями. Монотеизм описывался и представлялся ими через характеристики числа один, которое символизировало Бога как источник всего сущего. Идея космологического сотворения и структура мироздания, в свою очередь, выражались возрастающей последовательностью натуральных чисел^[1][2].

Как и пифагорейцы, Братья чистоты рассматривали всю реальность в нумерологическом ключе, где каждый аспект природы – и даже религии – следует определённому числовому шаблону. Они воспринимали реальность как упорядоченную и численно выраженную систему, подчеркивая абсолютную зависимость всего сущего от Бога — как все числа зависят от единицы^[2]. Числа, по их замыслу, предназначались для структурирования мышления, а арифметика трактовалась как аналитическая наука, задачей которой являлось постижение устройства разума через внутреннюю интуицию и числовые операции^[3].

В противовес пифагорейско-платоническому учению о независимой и нематериальной природе чисел, Аль-Фараби (870–950) и Ибн Сина (980–1037) развили аристотелевскую трактовку. Аль-Фараби утверждал, что математические объекты формируются в уме как абстракции, выделенные из физических предметов, и не имеют независимого существования вне материального мира. Математика, по его мнению, занимает промежуточное место между метафизикой и физикой^[4].

Ибн Сина уточнил и развил эту позицию. Он настаивал, что числовые и геометрические объекты всегда связаны с материей. Так, число «два» существует лишь постольку, поскольку есть два предмета, а треугольник — как свойство конкретного треугольного объекта. Ибн Сина считал, что математические понятия возникают из чувственного опыта. В мысленном эксперименте он показывал, что с лишёнными чувствами невозможно сформировать представление о числе. Опровержение Ибн Синой пифагорейско-платонического учения в отношении математических объектов было настолько убедительным и влиятельным, что после него эти подходы почти полностью исчезли из исламской философии^[4].

Дружественные числа представляют из себя пары чисел, в которых каждое равно сумме собственных делителей другого. Они редки, и неизвестно, бесконечное ли их количество^[5]. Древним Грекам был известен лишь один единственный пример: ${\displaystyle (220,284)}$. В исламском мире прорыв совершил Сабит ибн Курра (836–901), который получил образование в Багдаде и работал в Доме Мудрости. В трактате «Об определении дружественных чисел» он вывел уравнение для генерации пар таких чисел, основанное на свойствах простых чисел специального вида: ${\displaystyle p=3\cdot 2^{n-1}-1,\quad q=3\cdot 2^{n}-1,\quad r=9\cdot 2^{2n-1}-1,}$ где при ${\displaystyle n>1}$ и простых ${\displaystyle p,q,r}$ пара ${\displaystyle (2^{n}\cdot p\cdot q,\ 2^{n}\cdot r)}$ является дружественной^[6]. Для ${\displaystyle n=2}$ это даёт классическую пару ${\displaystyle (220,284)}$, где ${\displaystyle 220=2^{2}\cdot 5\cdot 11}$ и ${\displaystyle 284=2^{2}\cdot 71}$. Этот метод, основанный на глубоком анализе свойств делителей, позволил систематически находить новые пары. Он оставался единственным известным способом построения дружественных чисел вплоть до работ Леонарда Эйлера в XVIII веке^[7][8]. Числа вида ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$ в настоящее время известны как числа Сабита.

Страницы из рукописей Камал ад-Дина аль-Фариси

Интерес к дружественным числам не угас и после Сабита — к изучению этой темы и распространению его метода присоединились такие выдающиеся математики и философы, как аль-Караджи, Ибн Сина и аль-Занджани^[9]. В начале XIV века в Багдаде Камал ад-Дин аль-Фариси (1260–1320), применяя подход Сабита, открыл пару ${\displaystyle (17\ 296,18\ 416)}$, где ${\displaystyle 17\ 296=2^{4}\cdot 23\cdot 47}$ и ${\displaystyle 18\ 416=2^{4}\cdot 1151}$. Он также вывел новое доказательство достоверности этого подхода, основанное на инновационных идеях, связанных с факторизацией и комбинаторными методами^[10]. Одновременно с этим пара была открыта Ибн аль-Банной в Марракеше. В XVII веке, через три столетия после аль-Фариси и Ибн аль-Банны, Мухаммад Бакир Язди обнаружил пару ${\displaystyle (9\ 363\ 584,9\ 437\ 056)}$, где ${\displaystyle 9\ 363\ 584=2^{7}\cdot 191\cdot 383}$ и ${\displaystyle 9\ 437\ 056=2^{7}\cdot 73\ 727}$^[7][8]. Через арабские труды знания о дружественных числах к 1550 году дошли и до Западной Европы. Пьер де Ферма и Рене Декарт переоткрыли правило Сабита. Пара ${\displaystyle (17\ 296,18\ 416)}$ была открыта Ферма в 1636 году, пара ${\displaystyle (9\ 363\ 584,9\ 437\ 056)}$ Декартом в 1638 году. Новые пары были открыты лишь при Эйлере в 1747–1750 годах^[8][11].

Первые исследования совершенных чисел восходят к Никомаху Герасскому, но исламские учёные существенно углубили их теорию. Ибн Тахир аль-Багдади (961–1037) опроверг утверждение Никомаха о наличии совершенных чисел в каждом десятичном разряде^[12]. Ибн аль-Хайсам (965–1040) в своих трудах выдвинул гипотезу и попытался доказать, что все чётные совершенные числа имеют вид ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$, где ${\displaystyle 2^{n}-1}$ — простое число^[13] (позднее названные числами Мерсенна) — что в строгой форме было доказано лишь восемь столетий спустя. Ибн Фуллус^[англ.] (1194-1252) в своём трактате перечислил первые семь совершенных чисел (лишь первые четыре из них были раннее открыты греками)^[14].

Камал ад-Дин аль-Фариси (1260–1320) развил идею разложения чисел на простые множители, доказав в своём труде «Записки для друзей о доказательстве дружественности» (англ. Memorandum for friends on the proof of amicability) существование конечного разложения. Тем самым он впервые сформулировал и обосновал основную теорему арифметики^[15][16].

Исследования числовых последовательностей в средневековой исламской математике демонстрируют постепенную эволюцию от геометрических методов Сабита ибн Курры к более абстрактным, алгебраическим подходам аль-Фариси. Уже в XIII веке математические трактаты начинают оперировать понятиями, выходящими за рамки классической евклидовой традиции. Включение алгебраических методов в теорию чисел не только стало важным этапом переосмысления античного наследия, но и значительно опередило аналогичные достижения европейской науки, появившиеся лишь столетия спустя^[17].

В средневековой математике исламского мира особое внимание уделялось свойствам делителей чисел и различным формам числовой симметрии. Одним из таких направлений было изучение чисел, имеющих равные суммы собственных делителей. Эта концепция восходит к трудам аль-Багдади (961–1037), который впервые ввёл и исследовал такие числа, предложив метод их поиска^[18][19]. Позднее аль-Занджани подтвердил идею аль-Багдади и дополнил его работу, добавив ещё одно число к приведённому им примеру равновесных чисел. В Новое время персидский математик Мухаммад Бакир Язди обобщил метод поиска предложенный аль-Багдади^[19].

Знакомство с фигурными числами в исламском мире началось с перевода работы Никомаха «Введение в арифметику», который был выполнен Сабитом ибн Куррой (836–901). Арабские математики были знакомы с таблицей фигурных чисел, приведённой Сабитом в его переводе:^[20]

Треугольные	1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45	${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$
Квадратные	1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81	${\displaystyle n^{2}}$
Пятиугольные	1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117	${\displaystyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$
Шестиугольные	1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153	${\displaystyle n(2n-1)}$
Семиугольные	1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189	${\displaystyle {\frac {n(5n-3)}{2}}}$

С X века таблицы фигурных чисел многократно переписывались, расширялись и углублялись в трудах таких учёных, как аль-Багдади, Ибн аль-Банна, Ибн Сина, Ибн аль-Хайсам и аль-Умави. В ходе исследований постепенно совершались новые открытия. Основной интерес исламских математиков заключался в изучении закономерностей построения чисел и их сумм^[21].

Исламские математики успешно обобщали античные методы вычисления. Так, аль-Багдади (961–1037) привёл следующие формулы сумм фигурных чисел:^[22]

Сумма первых треугольных чисел (общая формула для ${\displaystyle n}$-го тетраэдрального числа):

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$

Сумма первых квадратных чисел:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

Сумма первых пятиугольных чисел:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k(3k-1)}{2}}={\frac {n^{2}(n+1)}{2}}}$

Прорыв в понимании фигурных чисел произошёл около 1300 года благодаря трудам аль-Фариси. Треугольные фигурные числа можно обобщить на большее число измерений, что называется гипертетраэдральными числам. Аль-Фариси вывел обобщённую формулу для вычисления таких чисел любого порядка:^[23]

${\displaystyle F_{p}^{q}=\sum _{k=1}^{p}F_{k}^{q-1}={\binom {p+q-1}{q}}}$

К XIV веку в исламской математике происходит отказ от геометрического образа фигурных чисел. Если в античных трактатах они изображались с помощью точек, выложенных в форме треугольников, квадратов и т. д., то в исламской традиции эти образы постепенно исчезают. В трудах аль-Фариси даже термины вроде «треугольный» или «пирамидальный» более уже не употребляются. Вместо этого вводится более абстрактный и универсальный язык арифметических последовательностей и сумм^[23].

В X веке в исламском мире формируется новое направление в теории чисел, которое современные историки называют диофантовым анализом, то есть изучением целочисленных решений уравнений — области, берущей начало в трактате «Арифметика» Диофанта, переведённом на арабский язык Куста ибн Лукой (820–912). Новое направление отличалось от традиционного подхода, характерного для античной и раннеисламской алгебры, где искались рациональные решения уравнений^[24].

Важным отличием исламской математической традиции стало соединение алгебраических методов, унаследованных и развитых после трудов аль-Хорезми (780–850), с задачами арифметики и теории чисел. Это привело к тому, что задачи, изначально сформулированные в геометрическом или числовом контексте (например, по Евклиду), начали решаться с помощью уравнений и методов, свойственных алгебре^[25].

Одним из представителей нового направления стал Абу Джафар аль-Хазин (900–971), который решал задачи, связанные с пифагоровыми тройками. В частности, он доказал невозможность двух нечётных катетов в пифагоровой тройке и невозможность получения квадрата из суммы двух квадратов с «дважды чётными» ${\displaystyle (x=4k)}$ сторонами. Также он исследовал квадратичные диофантовы уравнения вида ${\displaystyle x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=X^{2}}$. Для случаев ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle n=3}$ он привёл явные формулы решений. Несмотря на то что он остановился на ${\displaystyle n=3}$, им была выдвинута обобщённая гипотеза, причём предложенный параметрический подход можно адаптировать для любого ${\displaystyle n}$^[26].

В трактате аль-Хазина можно найти множество утверждений о представлении чисел в виде суммы квадратов и их доказательства. Например:^[27]

• Если число разлагается на сумму двух квадратов, то его квадрат тоже разлагается на сумму двух квадратов.
• Если каждое из двух чисел разлагается на сумму квадратов, то существует два различных разложения их произведения на сумму квадратов. В частности, аль-Хазин привёл один из первых известных случаев разложения квадратичной формы:

${\displaystyle (p^{2}+q^{2})(r^{2}+s^{2})=(pr+qs)^{2}+(ps-qr)^{2}=(pr-qs)^{2}+(ps+qr)^{2}}$

Одним из его ключевых результатов была задача: при данном натуральном ${\displaystyle a}$ найти натуральные числа ${\displaystyle x,y,z}$, удовлетворяющие условиям: ${\displaystyle x^{2}+a=y^{2}}$ и ${\displaystyle x^{2}-a=z^{2}}$. Он доказал, что это возможно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a=2uv}$ и ${\displaystyle u^{2}+v^{2}=x^{2}}$ для некоторых натуральных чисел ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$^[28][29]. Позднее та же задача побудила Баше и Ферма, рассмотреть представление целых чисел, в частности простых чисел, в виде суммы квадратов^[30].

Абу Махмуд аль-Худжанди (940–1000) еще в X веке сформулировал Великую теорему Ферма для частного случая ${\displaystyle n=3}$. Его доказательство не сохранилось, но аль-Хазин утверждал, что оно было неправильным. Это неудивительно — впоследствии теорема для ${\displaystyle n=3}$ была доказана Эйлером лишь восемь столетий спустя^[31][32]. Позднее Камал ад-Дин аль-Фариси (1260–1320) отмечал невозможность дать целочисленное решение уравнения и для ${\displaystyle n=4}$^[10].

Несмотря на то, что современное обозначение сравнений по модулю было введено значительно позже, методы, соответствующие идеям модульной арифметики — одного из краеугольных камней теории чисел — широко использовались в исламском мире уже в X веке. Математики X–XI веков разработали и развили методы, лежащие в основе фундаментальных результатов теории сравнений по модулю^[33].

Одним из самых ранних зафиксированных примеров полиномиального сравнения по модулю стал фрагмент из труда аль-Хазина (900–971), в котором он рассматривал квадратичное сравнение ${\displaystyle x^{2}+1\equiv 0{\pmod {5}}}$ и нашёл его решения^[34].

Особенно важную роль в развитии модульной арифметики сыграл Ибн аль-Хайсам (965–1040). В своём сочинении, известном как «Opuscula», он решает задачу, сводящуюся к системе линейных сравнений, в частности:^[35]

${\displaystyle {\begin{cases}x\equiv 1{\pmod {m_{i}}}\\x\equiv 0{\pmod {p}}\end{cases}}}$

где ${\displaystyle p}$ — простое число, а ${\displaystyle m_{i}<p}$.

Ибн аль-Хайсам предлагает два метода решения — «канонический» и обобщённый. Первый метод напрямую использует теорему, которая сегодня известна как теорема Вильсона:^[13][35]

Если ${\displaystyle p}$ — простое число, то ${\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}}$

Он формулирует это как необходимое свойство простых чисел, которое относится только к ним. Это было сделано более чем за семь столетий лет до формулировки теоремы Эдуардом Варингом и Джоном Вильсоном. Ибн аль-Хайсам стал первым математиком, сформулировавшим её^[35][36]. Историк математики Рошди Рашед предполагает, что его утерянные работы могли содержать доказательство этой теоремы^[37].

Во втором, более общем методе, Ибн аль-Хайсам явно оперирует с идеями, близкими к теореме Безу, предполагая существование целых решений уравнений вида ${\displaystyle (k+1)p-hr=1}$ при взаимной простоте ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle r}$. Это позволяет ему находить все решения исходной системы сравнений, а не только одно^[38].

Метод математической индукции считается одним из ключевых инструментов для доказательства в теории чисел^[39]. Первым математиком, который использовал его в своих доказательствах, был Абу Бакр аль-Караджи (953–1029). Хотя он и не предоставил строгого изложения метода, именно он сделал ключевой шаг к пониманию и применению индуктивных доказательств. Он использовал метод для доказательства суммы кубов^[40]:

Также он использовал этот метод для доказательства биномиальных тождеств:

Его преемник аль-Самуал (1130–1180) расширил его использование для доказательства других задач, включая сумму квадратов^[43][44]. Камал ад-Дин аль-Фариси (1260—1320) использовал математическую индукцию для доказательства формулы, которая соединяет некоторые фигурные числа и биномиальные коэффициенты^[45].

Одним из впечатляющих и оригинальных достижений в средневековой исламской математике было развитие общих методов построения магических квадратов^[46]. Трактаты о них писались уже в IX веке, но самые ранние из сохранившихся относятся к X веку. Один из них принадлежал Абу-ль-Вафе аль-Бузджани (940–998), кроме того, Али ибн Ахмад аль-Антаки уделил магическим квадратам отдельную главу в 3 книге своих «Комментариев к Арифметике Никомаха»^[47].

К X веку наука о магических квадратах, по-видимому, была уже достаточно развита. Были известны методы построения рамочных квадратов любых порядков, а также нормальных магических квадратов малых порядков ${\displaystyle (n\leq 6)}$, которые использовались для составления сложных квадратов^[47]. Оригинальные магические квадраты от 3 до 9 порядка встречаются в энциклопедии Братьев чистоты, написанной в Багдаде около 983 года. Ниже приведены примеры квадратов от 3 порядка до 7 из данной энциклопедии^[48]:

Арабские буквы традиционно ассоциировались с числовыми значениями (единицы, десятки, сотни, тысяча), что позволяло преобразовывать слова и предложения в числовые последовательности. Эти числа использовались для построения квадратов с равными суммами в строках. Такие построения были математически сложными и стали предметом исследований уже в XI веке. В частности, были открыты оригинальные способы построения для квадратов от 3 до 8 порядка^[49].

В XI веке было найдено несколько способов построения нормальных магических квадратов для нечётных и чётно-чётных ${\displaystyle (n=4k)}$ порядков. Более сложный случай чётно-нечётного порядка ${\displaystyle (n=4k+2)}$ для чётного ${\displaystyle k}$ был решён Ибн аль-Хайсамом (965–1040), а общее решение появилось к началу XII века. В то же время создавались пандиагональные квадраты чётно-чётного порядка, а также нечётного порядка, при котором ${\displaystyle n}$ не делится на 3. Свойство совпадения сумм на ломаных диагоналях в пандиагональных квадратах вызывало мало интереса в исламском мире, вместо этого значимым считалось свойство инвариантности к выбору начальной ячейки^[49].

Среди более поздних авторов и исследователей магических квадратов выделяется Ахмад аль-Буни (1142–1225), который также составил первые латинские квадраты. Они использовались для построения магических квадратов. Существуют убедительные доказательства того, что аль-Буни обладал знанием методов построения, которые впоследствии были формализованы и приняты математиками, включая Леонарда Эйлера, лишь в XVIII веке^[50]. Латинские квадраты активно применяются в алгебре, теории кодов, комбинаторике, статистике и криптографии^[51].

Хотя в раннем исламском мире магические квадраты рассматривались исключительно как математическая головоломка^[46], с периода монгольского нашествия их применение сместилось в сторону оккультных практик. Многие из более поздних текстов ограничиваются лишь описанием конкретных магических квадратов и перечислением их свойств, не раскрывая методологию их построения. В Европе знания о магических квадратах распространились ограниченно и поздно — лишь в позднем Средневековье туда попали знания, которые включали два набора квадратов без описания способов их построения. Основные исламские труды оставались неизвестными до недавнего времени^[49].

• Развитие числовой системы в исламском мире
• Алгебра в исламском мире

• Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani  (неопр.). Maths History. Дата обращения: 6 марта 2025.
• Al-Farisi  (неопр.). Maths History. Дата обращения: 7 марта 2025.
• Al-Khujandi  (неопр.). Maths History. Дата обращения: 7 марта 2025.
• Al-Khazin  (неопр.). Maths History. Дата обращения: 7 марта 2025.
• Al-Samawal  (неопр.). Maths History. Дата обращения: 7 марта 2025.
• Al-Haytham  (неопр.). Maths History. Дата обращения: 7 марта 2025.
• Al-Baghdadi  (неопр.). Maths History. Дата обращения: 7 марта 2025.
• Arabic mathematics : forgotten brilliance?  (неопр.) Maths History. Дата обращения: 7 марта 2025.
• Aldosray, Falih A M (2016). Perfect, Amicable and Numbers of Equal Weights (Historical Notes). International Journal of Scientific and Innovative Mathematical Research. 4 (1). doi:10.20431/2347-3142.0401010.
• Rashed, Roshdi. Number Theory and Combinatorial Analysis // The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. — Springer Netherlands, 1994. — Vol. 156. — ISBN 978-90-481-4338-2. — doi:10.1007/978-94-017-3274-1_5.
• Sesiano, Jacques (1 ноября 2003). Construction of Magic Squares Using the Knight?s Move in Islamic Mathematics (PDF). Archive for History of Exact Sciences. 58 (1): 1–20. doi:10.1007/s00407-003-0071-4. ISSN 0003-9519. Дата обращения: 29 июля 2025.