Четырёхугольник Саккери

Четырёхугольник Саккери — четырёхугольник с двумя равными боковыми сторонами, перпендикулярными основанию. Назван в честь Джироламо Саккери, который использовал его в своей книге «Евклид, очищенный от всех пятен» (Euclides ab omni naevo vindicatus, впервые опубликована в 1733 году). Саккери в этой работе попытался доказать пятый постулат, используя метод «от противного».

Ранее, в конце XI века, четырёхугольник Саккери был также рассмотрен Омаром Хайямом^[1].

В четырёхугольнике Саккери ${\displaystyle ABCD}$ стороны ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$ равны по длине и перпендикулярны к основанию ${\displaystyle AB}$. Углы при ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ называются верхними углами, два остальных угла — нижними.

Полезное свойство четырёхугольника Саккери заключается в том, что тип содержащей его плоскости однозначно определяется ответом на всего лишь один вопрос:

Являются ли верхние углы прямыми, тупыми или острыми?

Оказывается, когда верхние углы прямые, на плоскости выполняется пятый постулат, когда они острые, плоскость гиперболическая, а когда тупые, плоскость эллиптическая (при условии внесения некоторых дополнительных изменений в постулаты^[2]).

Саккери надеялся, что случаи тупых и острых углов приводят к противоречию с аксиомами Евклида. Он показал это в случае тупых углов, и, как ему казалось, в случае острых тоже (что было заведомо неверно)^[3].

Четырёхугольник Саккери был впервые рассмотрен Омаром Хайямом в конце XI века^[1]. В отличие от многих до и после него, Хайям не пытался доказать пятый постулат как таковой, он опирался на эквивалентный постулат из «принципов философа» (Аристотель):

Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии стали расходиться в направлении, в котором они ранее сходились^[4].

Хайям рассмотрел все три возможности для верхних углов четырёхугольника Саккери и доказал ряд теорем. Он (правильно) опроверг тупые и острые случаи на основании его постулата и вывел отсюда классический постулат Евклида.

600 лет спустя Джордано Витале^[англ.] использовал четырёхугольник Саккери в доказательстве того, что если три точки находятся на равном расстоянии от основания ${\displaystyle AB}$ и верхней стороны ${\displaystyle CD}$, то ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ всюду лежат на одинаковом расстоянии.

Сам Саккери в своём длинном доказательстве постулата предположил, что верхние углы острые, после чего, сам того не подозревая, вывел отсюда много теорем геометрии Лобачевского. В конце книги он совершил ошибку и пришёл к мнимому противоречию, откуда заключил, что сумел доказать пятый постулат.

Пусть ${\displaystyle ABCD}$ — четырёхугольник Саккери с основанием ${\displaystyle AB}$. Следующие свойства верны в любой гиперболической геометрии^[5]:

• Верхние углы (${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$) равны и являются острыми.
•  Верхняя сторона длиннее основания.
• Отрезок, соединяющий середину основания и середину верхней стороны, перпендикулярен основанию и верхней стороне.
  • Также этот отрезок делит четырёхугольник на два четырёхугольника Ламберта.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, не перпендикулярен ни одной из сторон.

В гиперболической плоскости постоянной кривизны ${\displaystyle -1}$ верхняя сторона ${\displaystyle s}$ в четырехугольнике Саккери может быть выражена через боковую сторону ${\displaystyle l}$ и основание ${\displaystyle b}$ с помощью формулы

${\displaystyle \cosh s=\cosh b\cdot \cosh ^{2}l-\sinh ^{2}l.}$^[6]

Гиперболическая плоскость допускает замощения некоторыми четырёхугольниками Саккери:

Симметрия *3322

Симметрия *∞∞22

• Четырёхугольник Ламберта — вариация четырёхугольника Саккери с тремя прямыми углами.

• Coxeter, H.S.M. (1998), Non-Euclidean Geometry (6th ed.), Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• M. J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4th edition, W. H. Freeman, 2008.
• George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975