Энтропия Реньи

В теории информации энтропия Реньи — обобщение энтропии Шеннона — является семейством функционалов, используемых в качестве меры количественного разнообразия, неопределённости или случайности некоторой системы. Названа в честь Альфреда Реньи.

Если некоторая система имеет дискретное множество доступных состояний ${\displaystyle X=\{x_{1},...,x_{n}\}}$, которому соответствует распределение вероятностей ${\displaystyle p_{i}}$ для ${\displaystyle i=1,...,n}$ (то есть ${\displaystyle p_{i}}$ — вероятности пребывания системы в состояниях ${\displaystyle x_{i}}$), тогда энтропия Реньи с параметром ${\displaystyle \alpha }$ (при ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ и ${\displaystyle \alpha \neq 1}$) системы определяется как

${\displaystyle H_{\alpha }(X)={\frac {1}{1-\alpha }}\log \sum _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha }={\frac {1}{1-\alpha }}\log {\Big \langle }p^{\alpha -1}{\Big \rangle }}$,

где угловыми скобками обозначено математическое ожидание по распределению ${\displaystyle p_{i}}$ (${\displaystyle p}$ — вероятность пребывания системы в некотором состоянии как случайная величина), логарифм берётся по основанию 2 (для счёта в битах) либо по другому удобному основанию (оно должно быть больше 1). Основание логарифма определяет единицу измерения энтропии. Так, в математической статистике обычно используется натуральный логарифм.

Если все вероятности ${\displaystyle p_{i}=1/n}$, тогда при любом ${\displaystyle \alpha }$ энтропия Реньи ${\displaystyle H_{\alpha }(X)=\log n}$. В остальных случаях энтропия Реньи убывает как функция ${\displaystyle \alpha }$. Притом более высокие значения ${\displaystyle \alpha }$ (уходящие в бесконечность) дают энтропии Реньи значения, которые в большей степени определены лишь самыми высокими вероятностями событий (то есть вклад в энтропию маловероятных состояний уменьшается). Промежуточный случай ${\displaystyle \alpha =1}$ в пределе даёт энтропию Шеннона, которая обладает особыми свойствами. Более низкие значения ${\displaystyle \alpha }$ (стремящиеся к нулю), дают значение энтропии Реньи, которое взвешивает возможные события более равномерно, менее зависимо от их вероятностей. А при ${\displaystyle \alpha =0}$ получаем максимально возможную ${\displaystyle \alpha }$-энтропию, равную ${\displaystyle \log n}$ независимо от распределения (лишь бы ${\displaystyle p_{i}\neq 0}$).

Смысл параметра ${\displaystyle \alpha }$ можно описать, говоря неформальным языком, как восприимчивость функционала к отклонению состояния системы от равновесного: чем больше ${\displaystyle \alpha }$, тем быстрее уменьшается энтропия при отклонении системы от равновесного состояния. Смысл ограничения ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ заключается в том, чтобы обеспечивалось увеличение энтропии при приближении системы к равновесному (более вероятному) состоянию. Это требование является естественным для понятия энтропия. Следует заметить, что для энтропии Цаллиса, которая эквивалентна энтропии Реньи с точностью до не зависящего от ${\displaystyle X}$ монотонного преобразования, соответствующее ограничение часто опускают, при этом для отрицательных значений параметра вместо максимизации энтропии используют её минимизацию. Между тем существует корректное с точки зрения поведения функционала обобщение энтропий Реньи и Цаллиса на случай произвольного действительного значения параметра.

Энтропия Реньи играет важную роль в экологии и статистике, определяя так называемые индексы разнообразия. Энтропия Реньи также важна в квантовой информации, она может быть использована в качестве меры сложности. В цепочке Гейзенберга ${\displaystyle XY}$ энтропия Реньи была рассчитана в терминах модулярных функций, зависящих от ${\displaystyle \alpha }$. Они также приводят к спектру показателей фрактальной размерности.

• При ${\displaystyle \alpha =0}$ энтропия Реньи не зависит от вероятностей состояний (вырожденный случай) и равна логарифму числа состояний (логарифму мощности множества ${\displaystyle X}$):

${\displaystyle H_{0}(X)=\log n=\log |X|}$.

Данную энтропию иногда называют энтропией Хартли. Она используется, например, в формулировке принципа Больцмана.

• В пределе при ${\displaystyle \alpha \to 1}$, можно показать, используя правило Лопиталя, что ${\displaystyle H_{\alpha }}$ сходится к энтропии Шеннона. Таким образом, семейство энтропий Реньи может быть доопределено функционалом

${\displaystyle H_{1}(X){\stackrel {\mathrm {df} }{\;=\;}}\lim _{\alpha \to 1}H_{\alpha }(X)=H(X)=-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log p_{i}}$.

• Квадратичная энтропия, иногда называемая энтропией столкновений, — это энтропия Реньи с параметром ${\displaystyle \alpha =2}$:

${\displaystyle H_{2}(X)=-\log \sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}=-\log \operatorname {Prob} \{x=y\}}$,

где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — независимые случайные величины, одинаково распределённые на множестве ${\displaystyle X}$ с вероятностями ${\displaystyle p_{i}}$ (${\displaystyle i=1,...,n}$). Квадратичная энтропия используется в физике, обработке сигналов, экономике.

• Существует предел

${\displaystyle H_{\infty }(X){\stackrel {\mathrm {df} }{\;=\;}}\lim _{\alpha \to \infty }H_{\alpha }(X)=-\log \sup _{i}p_{i}}$,

который называется min-энтропией, потому что это наименьшее значение ${\displaystyle H_{\alpha }}$. Данная энтропия также является вырожденным случаем, поскольку её значение определяется только наиболее вероятным состоянием.

Два последних случая связаны соотношением ${\displaystyle H_{\infty }<H_{2}<2H_{\infty }}$. С другой стороны, энтропия Шеннона ${\displaystyle H_{1}(X)}$ может быть сколь угодно высокой для распределения X с фиксированной min-энтропией.

${\displaystyle H_{2}<2H_{\infty }}$ потому что ${\displaystyle \log \sum \limits _{i=1}^{n}{p_{i}^{2}}\geq \log \sup _{i}p_{i}^{2}=2\log \sup _{i}p_{i}}$.

${\displaystyle H_{\infty }<H_{2}}$, потому что ${\displaystyle \log \sum \limits _{i=1}^{n}{p_{i}^{2}}<\log \sup _{i}p_{i}\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{p_{i}}}\right)=\log \sup _{i}p_{i}}$.

${\displaystyle H_{1}\geq H_{2}}$ в соответствии с неравенством Йенсена ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{p_{i}\log p_{i}}\leq \log \sum \limits _{i=1}^{n}{p_{i}^{2}}}$.

Кроме семейства энтропий, Реньи также определил спектр мер расхождений (дивергенций), обобщающих расхождение Кульбака—Лейблера. Формулы данного раздела записаны в общем виде — через логарифм по произвольному основанию. Поэтому нужно понимать, что каждая приведённая формула представляет собой семейство эквивалентных функционалов, определённых с точностью до постоянного (положительного) множителя.

Расхождение Реньи с параметром ${\displaystyle \alpha }$, где ${\displaystyle \alpha >0}$ и ${\displaystyle \alpha \neq 1}$, распределения ${\displaystyle Q}$ относительно распределения ${\displaystyle P}$ (или «расстояние от ${\displaystyle P}$ до ${\displaystyle Q}$») определяется как

${\displaystyle D_{\alpha }(P\|Q)={\frac {1}{\alpha -1}}\log \sum _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha }q_{i}^{1-\alpha }={\frac {1}{\alpha -1}}\log {\Big \langle }(p/q)^{\alpha -1}::P{\Big \rangle }}$

или (формально, без учёта нормировки вероятностей)

${\displaystyle D_{\alpha }(P\|Q)=-H_{\alpha }{\Bigg (}{\frac {p}{q^{1-1/\alpha }}}{\Bigg )}}$,

${\displaystyle H_{\alpha }(P)=-\left.D_{\alpha }(P\|Q)\right|_{q=1}}$.

Как расхождение Кульбака—Лейблера, расхождение Реньи является неотрицательным для ${\displaystyle \alpha >0}$.

• При ${\displaystyle \alpha =0}$ дивергенция Реньи не определена, однако семейство дивергенций можно доопределить элементом

${\displaystyle D_{0}(P\|Q){\stackrel {\mathrm {df} }{\;=\;}}\lim _{\alpha \to 0}D_{\alpha }(P\|Q)=-\log \sum _{i=1}^{n}q_{i}\operatorname {sgn} p_{i}}$ : минус логарифм от суммы вероятностей ${\displaystyle q}$, таких что соответствующие ${\displaystyle p>0}$.

• ${\displaystyle D_{1/2}(P\|Q)=-2\log \sum _{i=1}^{n}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}}$ : расстояние Бхаттачария (минус логарифм от коэффициента Бхаттачария^[англ.], несущественный множитель ${\displaystyle 2}$ игнорируем). Данное расхождение с точностью до монотонного преобразования эквивалентно расстоянию Хеллингера и сферическому расстоянию Бхаттачария—Рао, однако в отличие от них не удовлетворяет неравенству треугольника, а потому не является метрикой в пространстве распределений.
• ${\displaystyle D_{1}(P\|Q){\stackrel {\mathrm {df} }{\;=\;}}\lim _{\alpha \to 1}D_{\alpha }(P\|Q)=D_{KL}(P\|Q)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\Big \langle }\log {\frac {p}{q}}::P{\Big \rangle }}$ : расхождение Кульбака—Лейблера (равно математическому ожиданию по распределению ${\displaystyle P}$ логарифма отношения вероятностей ${\displaystyle p/q}$).
• ${\displaystyle D_{2}(P\|Q)=\log \sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}^{2}}{q_{i}}}=\log {\Big \langle }{\frac {p}{q}}::P{\Big \rangle }}$ : логарифм от математического ожидания по распределению ${\displaystyle P}$ отношения вероятностей ${\displaystyle p/q}$. Данное расхождение с точностью до монотонного преобразования эквивалентно расстоянию хи-квадрат Пирсона ${\displaystyle D_{\chi ^{2}}(P\|Q)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(p_{i}-q_{i})^{2}}{q_{i}}}}$.
• ${\displaystyle D_{\infty }(P\|Q){\stackrel {\mathrm {df} }{\;=\;}}\lim _{\alpha \to \infty }D_{\alpha }(P\|Q)=\log \sup _{i}{\frac {p_{i}}{q_{i}}}}$ : логарифм от максимального отношения вероятностей ${\displaystyle p/q}$.

Рассмотрим игру (лотерею) по угадыванию некой случайной величины. Официальные выигрышные ставки известны и опубликованы в виде распределения вероятностей ${\displaystyle m}$. Между тем истинное распределение вероятностей может не совпадать с ${\displaystyle m}$. Знание истинного распределения позволяет игроку заработать. Ожидаемый рост капитала экспоненциальный. Считая верным распределение ${\displaystyle b}$, игрок может подсчитать (свое) математическое ожидание экспоненциальной скорости роста капитала (за раунд игры) [Soklakov2020]:

ОжидаемыйРост ${\displaystyle ={\frac {1}{R}}\,D_{1}(b\|m)+{\frac {R-1}{R}}\,D_{1/R}(b\|m)\,,}$

где ${\displaystyle R}$ обозначает относительную меру неприятия риска по Эрроу-Пратту.

Обозначив ${\displaystyle p}$ истинное распределение (не обязательно совпадающее с мнением игрока ${\displaystyle b}$) реально полученный рост можно подсчитать в пределе многократной игры [Soklakov2020]:

ФактическийРост ${\displaystyle ={\frac {1}{R}}\,{\Big (}D_{1}(p\|m)-D_{1}(p\|b){\Big )}+{\frac {R-1}{R}}\,D_{1/R}(b\|m)\,.}$

Значение ${\displaystyle \alpha =1}$, которое соответствует энтропии Шеннона и расхождению Кульбака—Лейблера, является особенным, потому что только в этом случае можно выделить переменные A и X из совместного распределения вероятностей, такие что справедливо

${\displaystyle H(A,X)=H(A)+\mathbb {E} _{p(a)}\{H(X|a)\}}$

для энтропии, и

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(p(x|a)p(a)||m(x,a))=\mathbb {E} _{p(a)}\{D_{\mathrm {KL} }(p(x|a)||m(x|a))\}+D_{\mathrm {KL} }(p(a)||m(a))}$ —

для дивергенции.

Последнее означает, что если мы будем искать распределение ${\displaystyle p(x,a)}$, которое сводит к минимуму расхождения некоторых основополагающих мер ${\displaystyle m(x,a)}$, и получим новую информацию, которая влияет только на распределение ${\displaystyle a}$, то распределение ${\displaystyle p(x|a)}$ не будет зависеть от изменений ${\displaystyle m(x|a)}$.

В общем случае расхождения Реньи с произвольными значениями ${\displaystyle \alpha }$ удовлетворяют условиям неотрицательности, непрерывности и инвариантности относительно преобразования координат случайных величин. Важным свойством любых энтропии и дивергенции Реньи является аддитивность: когда ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle X}$ независимы, из ${\displaystyle p(A,X)=p(A)p(X)}$ следует

${\displaystyle H_{\alpha }(A,X)=H_{\alpha }(A)+H_{\alpha }(X)}$

и

${\displaystyle D_{\alpha }(P(A)P(X)\|Q(A)Q(X))=D_{\alpha }(P(A)\|Q(A))+D_{\alpha }(P(X)\|Q(X))}$.

Наиболее сильные свойства случая ${\displaystyle \alpha =1}$, которые предполагают определение условной информации и взаимной информации из теории связи, могут быть очень важны в других приложениях или совершенно неважны, в зависимости от требований этих приложений.

Перекрёстная энтропия ${\displaystyle H_{\alpha }(P,Q)}$ от двух распределений с вероятностями ${\displaystyle p_{i}}$ и ${\displaystyle q_{i}}$ (${\displaystyle i=1,...,n}$) в общем случае может определяться по-разному (в зависимости от применения), но должна удовлетворять условию ${\displaystyle H_{\alpha }(P,P)=H_{\alpha }(P)}$. Один из вариантов определения (аналогичным свойством обладает перекрёстная энтропия Шеннона):

${\displaystyle H_{\alpha }(P,Q)=H_{\alpha }(P)+D_{\alpha }(P,Q)}$.

Другое определение, предложенное А. Реньи, может быть получено из следующих соображений. Определим эффективное количество состояний системы как среднее геометрическое взвешенное от величин ${\displaystyle 1/q_{i}}$ с весами ${\displaystyle p_{i}}$:

${\displaystyle {\overline {n}}=\prod _{i=1}^{n}(1/q_{i})^{p_{i}}}$.

Отсюда следует выражение для перекрёстной энтропии Шеннона

${\displaystyle H(P,Q)=\log {\overline {n}}=-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log q_{i}}$.

Рассуждая аналогичным образом, определим эффективное количество состояний системы как среднее степенное взвешенное от величин ${\displaystyle 1/q_{i}}$ с весами ${\displaystyle p_{i}}$ и параметром ${\displaystyle 1-\alpha }$:

${\displaystyle {\overline {n}}=\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}(1/q_{i})^{1-\alpha }\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}=\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}q_{i}^{\alpha -1}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}}$.

Таким образом, перекрёстная энтропия Реньи имеет вид

${\displaystyle H_{\alpha }(P,Q)=\log {\overline {n}}={\frac {1}{1-\alpha }}\log \sum _{i=1}^{n}p_{i}q_{i}^{\alpha -1}={\frac {1}{1-\alpha }}\log {\Big \langle }q^{\alpha -1}::P{\Big \rangle }}$.

• Нетрудно видеть, что в случае, если распределения вероятностей ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ совпадают, перекрёстная энтропия Реньи совпадает с энтропией Реньи.
• Также при ${\displaystyle \alpha \to 1}$ перекрёстная энтропия Реньи сходится к перекрёстной энтропии Шеннона.
• Свойство ${\displaystyle H(P,Q)=H(P)+D_{KL}(P\|Q)\geq H(P)}$, справедливое для перекрёстной энтропии Шеннона, в общем случае не имеет места. Перекрёстная энтропия Реньи может быть как больше, так и меньше энтропии Реньи.

Для формального обобщения энтропии Шеннона на случай непрерывного распределения служит понятие дифференциальная энтропия. Совершенно аналогично определяется дифференциальная энтропия Реньи:

${\displaystyle H_{\alpha }(f)={\frac {1}{1-\alpha }}\log \int \limits _{X}^{}{f^{\alpha }(x)}dx}$.

Расхождение (дивергенция) Реньи в непрерывном случае также является обобщением расхождения Кульбака—Лейблера и имеет вид

${\displaystyle D_{\alpha }(g,f)={\frac {1}{\alpha -1}}\log \int \limits _{X}^{}{g^{\alpha }(x)f^{1-\alpha }(x)}dx}$.

Определение перекрёстной энтропии, предложенное А. Реньи, в непрерывном случае имеет вид

${\displaystyle H_{\alpha }(g,f)={\frac {1}{1-\alpha }}\log \int \limits _{X}^{}{g(x)f^{\alpha -1}(x)}dx}$.

В приведённых формулах ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ — некоторые функции плотности распределения вероятностей, определённые на интервале ${\displaystyle X\subseteq R}$, и полагается ${\displaystyle \alpha >0}$, ${\displaystyle \alpha \neq 1}$. При ${\displaystyle \alpha =1}$ рассмотренные функционалы непрерывно доопределяются соответственно энтропией Шеннона ${\displaystyle H(f)}$, дивергенцией Кульбака—Лейблера ${\displaystyle D(g,f)}$ и перекрёстной энтропией Шеннона ${\displaystyle H(g,f)}$.

Для произвольного ${\displaystyle \alpha \subseteq R}$, ${\displaystyle \alpha \neq 0}$, ${\displaystyle \alpha \neq 1}$, энтропия и дивергенция Реньи определяются следующим образом:

${\displaystyle H_{\alpha }(f)={\frac {1}{\alpha (1-\alpha )}}\log \int \limits _{X}^{}{f^{\alpha }(x)}dx}$,

${\displaystyle D_{\alpha }(g,f)={\frac {1}{\alpha (\alpha -1)}}\log \int \limits _{X}^{}{g^{\alpha }(x)f^{1-\alpha }(x)}dx}$.

При ${\displaystyle \alpha =1}$ рассмотренные функционалы непрерывно доопределяются соответственно энтропией Шеннона ${\displaystyle H(f)}$ и дивергенцией Кульбака—Лейблера ${\displaystyle D(g,f)}$. При ${\displaystyle \alpha =0}$ дивергенция непрерывно доопределяется обратной дивергенцией Кульбака—Лейблера ${\displaystyle D(f,g)}$, а энтропия с точностью до несущественного слагаемого и несущественного сомножителя эквивалентна энтропии Берга ${\displaystyle \int \limits _{X}^{}{\log f(x)}dx}$. Действительно, если функционал ${\displaystyle H_{\alpha }(f)}$ уменьшить на постоянную величину ${\displaystyle {\frac {1}{\alpha (1-\alpha )}}\log \int \limits _{X}^{}{}dx}$ и раскрыть неопределённость при ${\displaystyle \alpha \to 0}$ по правилу Лопиталя, в пределе получим выражение для энтропии Берга, делённое на ${\displaystyle \int \limits _{X}^{}{}dx}$. Однако следует заметить, что энтропия Берга, как и вообще энтропия Реньи при ${\displaystyle \alpha \leq 0}$, не существует для распределений, заданных на неограниченном промежутке ${\displaystyle X}$. Для дискретных аналогов приведённых здесь формул подобного ограничения нет.

• A. Rényi (1961). On measures of information and entropy (PDF). Proceedings of the 4th Berkeley Symposium on Mathematics, Statistics and Probability 1960. pp. 547–561.
• A. O. Hero, O.Michael and J. Gorman. Alpha-divergences for Classification, Indexing and Retrieval (англ.) : journal. — 2002.
• F. Nielsen and S. Boltz. The Burbea-Rao and Bhattacharyya centroids (неопр.). — 2010.
• O.A. Rosso EEG analysis using wavelet-based information tools. Journal of Neuroscience Methods 153 (2006) 163–182
• Rényi entropy as a measure of entanglement in quantum spin chain: F. Franchini, A. R. Its, V. E. Korepin, Journal of Physics A: Math. Theor. 41 (2008) 025302 [1]
• F. Liese and I. Vajda. Convex Statistical Distances // Teubner-Texte zur Mathematik. – Leipzig, 1987, band 95.
• Soklakov, A. N. (2020). Economics of Disagreement—Financial Intuition for the Rényi Divergence. Entropy. 22 (8): 860. arXiv:1811.08308. doi:10.3390/e22080860.{{cite journal}}: Википедия:Обслуживание CS1 (не помеченный открытым DOI) (ссылка)