பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை

கணிதத்தில் பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை (Pythagorean trigonometric identity), பித்தாகரசு தேற்றத்தின் முடிவை முக்கோணவியல் சார்புகளின் வாயிலாகத் தருகிறது. சைன் சார்புக்கும் கோசைன் சார்புக்கும் இடையிலான அடிப்படைத் தொடர்பினைத் தரும் இம்முற்றொருமை, கோணங்களின் கூடுதல் (வித்தியாசம்) முற்றொருமைகளோடு சேர்ந்து மற்ற அனைத்து முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளைப் பெறுவதற்குப் பயன்படுகிறது.

பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமையின் கணித வடிவம்:

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.\!}$

sin² θ என்பது (sin θ)² -வையும் cos² θ என்பது (cos θ)² -வையும் குறிக்கும். சைனுக்கும் கோசைனுக்கும் இடையிலான இத்தொடர்பு சிலசமயங்களில் பித்தாகரசின் அடிப்படை முக்கோணவியல் முற்றொருமை எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.^[1]

வடிவொத்த முக்கோணங்களில், சமமாகவுள்ள கோணத்தை எடுத்துக் கொண்டால், அக்கோணத்தின் கரங்களாக அமையும் இருபக்கங்களின் விகிதம் வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி, நாம் எடுத்துக்கொண்டுள்ள அனைத்து முக்கோணங்களிலும் சமமாக இருக்கும். வடிவொத்த முக்கோணம் ஒவ்வொன்றுக்கும் பக்க அளவுகள் வெவ்வேறாக இருந்தாலும் இவ்விகிதம் மாறாத ஒன்றாக இருக்கும்.

எனவே படத்திலுள்ள இரு வடிவொத்த செங்கோண முக்கோணங்களிலும்:

செங்குத்தான பக்கம், செம்பக்கத்தின் விகிதம் = ${\displaystyle \sin \theta \,}$

கிடைமட்டப்பக்கம், செம்பக்கத்தின் விகிதம் = ${\displaystyle \cos \theta \,}$

• 1 அலகு நீளமுள்ள செம்பக்கம் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தில் :

செங்குத்தான பக்கம் = ${\displaystyle \sin \theta \,}$

கிடைமட்டமான பக்கம் = ${\displaystyle \cos \theta \,}$

இவற்றை வர்க்கப்படுத்திக் கூட்டி, பித்தாகரசின் தேற்றமுடிவான,

(எதிர்ப்பக்கம்)² + (அடுத்துள்ள பக்கம்)² = (செம்பக்கம்)² -ஐப் பயன்படுத்த

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.\!}$

• செம்பக்கம் 1 அலகில்லாத செங்கோண முக்கோணத்தில் :

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a}{c}}\ .}$

இவற்றை வர்க்கப்படுத்திக் கூட்ட:

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta ={\frac {b^{2}+a^{2}}{c^{2}}}}$

பித்தாகரசின் தேற்றமுடிவான ${\displaystyle b^{2}+a^{2}=c^{2}\,}$ -ஐ பயன்படுத்த:

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.\!}$

• சைன் மற்றும் கோசைனின் இந்த செங்கோண முக்கோண-வரையறை, 0 <θ < π/2 இடைவெளிக்குள் (ரேடியன்) அமையும் கோணங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். 0 மற்றும் π/2 கோணங்களுக்கு சைன், கோசைன் மதிப்புகளை நேரிடையாகக் கண்டுபிடித்து முற்றொருமையை எளிதாகச் சரிபார்த்துக் கொள்ளலாம்.
• முழுவட்டத்தில் அமையும் பிற கோணங்களுக்கு சமச்சீர், பெயர்வு மற்றும் காலமுறைமை முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி நிறுவ வேண்டும். −π < θ ≤ π இடைவெளியில் பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமையை உண்மையென நிறுவினால் போதும், காலமுறைமைப்படி, இம்முற்றொருமை மற்ற அனைத்து மெய்க்கோண அளவுகளுக்கும் உண்மையாக இருக்கும்.

• முதலில் π/2 < θ ≤ π என அமையும் கோணங்களுக்கு நிறுவலாம்:

t = θ − π/2, என்க. இப்பொழுது t , (0 π/2] இடைவெளியில் அமையும்.

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\left(t+{\frac {1}{2}}\pi \right)+\cos ^{2}\left(t+{\frac {1}{2}}\pi \right)=\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1.}$

• அடுத்து −π < θ < 0 இடைவெளியில் அமையும் கோணங்களுக்கு நிறுவலாம்.

θ கோணம், 0 < θ < π இடைவெளியில் அமைகிறது என்க. இப்பொழுது, -θ கோணம், (-π, 0) இடைவெளியில் அமையும்.

முக்கோணவியல் சமச்சீர் முற்றொருமைகளின்படி:

${\displaystyle \sin(-\theta )\ =-\sin \theta \,}$

${\displaystyle \cos(-\theta )\ =+\cos \theta \,}$

வர்க்கப்படுத்த:

${\displaystyle \sin ^{2}\theta =\sin ^{2}(-\theta )\,}$

${\displaystyle \cos ^{2}\theta \ =\cos ^{2}(-\theta ).\,}$

இரண்டையும் கூட்ட:

${\displaystyle \sin ^{2}(-\theta )+\cos ^{2}(-\theta )=\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.\!}$ (ஏற்கனவே பித்தகாரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை [0, π] இடைவெளியில் அமையும் கோணங்களுக்கு நிறுவப்பட்டுள்ளது.)

${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \,}$

${\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \,}$

ஆகிய இரண்டு முற்றொருமைகளுங்கூட பித்தாகரசின் முற்றொருமைகள் என அழைக்கப்படுகின்றன.^[1]

ஒரு பக்க (செம்பக்கம் அல்லாதது) அளவு  1 அலகு கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தில்:

• 1 அலகு நீளமுள்ள பக்கத்திற்கும் செம்பக்கத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் θ இன் டேன்ஜெண்ட், முக்கோணத்தின் மூன்றாவது பக்கத்திற்குச் சமமாகவும், சீக்கெண்ட் செம்பக்கத்திற்குச் சமமாகவும் இருக்கும்.

•  1 அலகு நீளமல்லாத மற்றொரு பக்கத்திற்கும் செம்பக்கத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் (π/2 − θ). இக்கோணத்தின் கோடேன்ஜெண்ட்  1 அலகு நீளமில்லாத பக்கத்தின் நீளத்திற்கும், கோசீக்கெண்ட் செம்பக்க நீளத்திற்கும் சமமாக இருக்கும்.

எனவே பித்தாகரசின் தேற்றமுடிவின்படி:

(எதிர்ப்பக்கம்)² + (அடுத்துள்ள பக்கம்)² = (செம்பக்கம்)²

${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \,}$

மற்றும்

${\displaystyle 1+\cot ^{2}({\frac {\pi }{2}}-\theta )=\csc ^{2}({\frac {\pi }{2}}-\theta )\,}$

ஆனால் சமச்சீர் முற்றொருமைகளின்படி:

${\displaystyle \cot({\frac {\pi }{2}}-\theta )=\cot \theta \,}$,${\displaystyle \csc({\frac {\pi }{2}}-\theta )=\csc \theta \,}$,

எனவே ${\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \,}$

ஒருபக்கத்தின் அளவு 1 ஆக இல்லாத செங்கோண முக்கோணத்தில்:

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {b}{a}}\ ,}$ ${\displaystyle \sec \theta ={\frac {c}{a}}\,}$

${\displaystyle \cot \theta ={\frac {a}{b}}\ ,}$ ${\displaystyle \csc \theta ={\frac {c}{b}}\,}$

பித்தாகரசு தேற்றமுடிவு, ${\displaystyle b^{2}+a^{2}=c^{2}\,}$ -ஐ பயன்படுத்த:

${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}={\frac {c^{2}}{a^{2}}}=\sec ^{2}\theta \,}$

இதேபோல,

${\displaystyle 1+\cot ^{2}({\frac {\pi }{2}}-\theta )=\csc ^{2}({\frac {\pi }{2}}-\theta )\,}$

அதாவது

${\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \,}$ என்ற முற்றொருமையையும் நிறுவலாம்

• இவ்விரண்டு முற்றொருமைகளைப் பின்வரும் அட்டவணையில் உள்ளவாறும் பெறலாம்:

மூல முற்றொருமை	வகுத்தி	வகுக்கப்பட்ட முற்றொருமை	பெறப்பட்ட முற்றொருமை	முற்றொருமையின் வேறொரு தோற்றம்
${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\!}$
${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\!}$	${\displaystyle \cos ^{2}\theta \!}$	${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}\!}$	${\displaystyle \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta \!}$	${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \!}$
${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\!}$	${\displaystyle \sin ^{2}\theta \!}$	${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\!}$	${\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \!}$	${\displaystyle \cot ^{2}\theta +\ 1=\csc ^{2}\theta \!}$

யூக்ளிடின் தளத்தில் அமையும் ஓரலகு வட்டத்தின் சமன்பாடு:^[2]

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.\,}$

x -அச்சிலிருந்து θ, அளவுள்ள ஒரு கோணத்திற்கு ஓரலகு வட்டத்தின் மீது அமையும் ஒரு தனித்த புள்ளி P -ன் அச்சு தூரங்கள்:^[3]

${\displaystyle x=\cos \theta \ }$

${\displaystyle y=\sin \theta \ }$

இதனை ஓரலகு வட்டச் சமன்பாட்டில் பயன்படுத்த பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை கிடைக்கிறது.

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\ ,}$

படத்தில் புள்ளி P இரண்டாம் காற்பகுதியில் அமைவதால் அதன் x-அச்சுதூரம் எதிர்மமாக இருக்க வேண்டும். cosθ = −cos(π−θ ). என்பதால் x = cosθ எதிர்ம எண்ணாகும். P -ன் y-அச்சுதூரம் நேர்ம எண். (sinθ = sin(π−θ ) > 0). கோணம் θ, பூச்சியத்திலிருந்து முழுவட்டக்கோணம் θ = 2π -ஆக அதிகரிக்கும்போது, நான்கு காற்பகுதிகளிலும் புள்ளி P -ன் x மற்றும் y அச்சுதூரங்களின் குறிகள் சரியானதாக அமையும் வகையில் சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகளின் மதிப்புகளின் குறிகள் மாறுகின்றன. படத்தில் கோணம் வெவ்வேறு காற்பகுதிகளில் அமையும்போது சைன் மதிப்பின் குறி மாறும் விதம் காட்டப்பட்டுள்ளது. x- மற்றும் y-அச்சுக்கள் இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானதாக அமைவதால் பித்தாகரசின் முற்றொருமை, செம்பக்க நீளம் 1 அலகாகக் கொண்ட செங்கோண முக்கோணங்களின் பித்தாகரசின் தேற்றத்துக்குச் சமானமானதாக அமையும். (வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின் மூலம் பிற செங்கோண முக்கோணங்களின் பித்தாகரசு தேற்றத்திற்குச் சமானமானதாகும் எனக் காணலாம்.)

முக்கோணவியல் சார்புகளை அடுக்குத் தொடர்கள் மூலமாகவும் வரையறுக்கலாம். (கோணம் x ரேடியனில் அளக்கப்பட்டுள்ளது):^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},\\\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}}$

அடுக்குத் தொடர்களின் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j+1)!}}x^{(2i+1)+(2j+1)}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(2i+1)!(2(n-i-1)+1)!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}\right){\frac {(-1)^{n-1}}{(2n)!}}x^{2n},\\\cos ^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j)!}}x^{(2i)+(2j)}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{n}}{(2i)!(2(n-i))!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}\right){\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}}$

sin²-ன் விரிவில், n -ன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 1ஆகவும், cos² -ன் விரிவில், மாறிலி உறுப்பு 1 ஆகவும் உள்ளது.

இவற்றின் இதர உறுப்புகளின் கூடுதல் (பொதுக் காரணிகளை நீக்கியபின்):

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}-\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}=\sum _{j=0}^{2n}(-1)^{j}{2n \choose j}=(1-1)^{2n}=0}$ (ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின்படி)

எனவே:

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\ ,}$ (பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை)

சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகளைப் பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகளாக வரையறுக்கலாம்:^[6]

${\displaystyle y''+y=0\,}$

y(0) = 0, y′(0) = 1 நிபந்தனைகளை சைனும் y(0) = 1, y′(0) = 0 நிபந்தனைகளை கோசைனும் நிறைவு செய்யும்.

${\displaystyle z=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\,}$ என்ற சார்பை எடுத்துக் கொள்க.

வகையிட:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}z=2\sin x\ \cos x+2\cos x\ (-\sin x)=0\ ,}$

எனவே z மாறிலியாக இருக்க வேண்டும்.

z(0) = 1 என்பதைக் காணலாம்.

z மாறிலி மற்றும் z(0) = 1 என்பதால் x -ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் z = 1 ஆக இருக்கும்.

எனவே ${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.\ }$ (பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை)

• An interactive illustration of Pythagorean identity பரணிடப்பட்டது 2014-11-01 at the வந்தவழி இயந்திரம்