மாறுநிலை எண் (கணிதம்)

வகை நுண்கணிதத்தில் ஒருமெய்யெண் சார்பின் மாறுநிலப்புள்ளி (critical point) அல்லது மாறுநிலை எண் (critical number) என்பது, அச்சார்பின் ஆட்களத்தில் அமையும் ஒரு மதிப்பிற்கு, சார்பு வகையிடத்தக்கதாக இல்லாமலோ அல்லது வகைக்கெழுவின் மதிப்பு பூச்சியமாகவோ இருந்தால் ஆட்களத்தின் அம்மதிப்பு மாறுநிலைப் புள்ளி அல்லது மாறுநிலை எண் எனப்படும்.^[1][2] மாறுநிலைப் புள்ளியில் சார்பின் மதிப்பு மாறுநிலை மதிப்பு (critical value) என அழைக்கப்படும்.

ஒருமாறியில் அமைந்த மெய்யெண் சார்பின் மாறுநிலை எண்னைப் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்: ஒருமாறியில் அமைந்த ƒ(x), மெய்யெண் சார்புக்கு அதன் ஆட்களத்தில் அமைந்த ஒரு மதிப்பு x₀ -ல், சார்பு வகையிடத்தக்கதாக இல்லாமலோ அல்லது சார்பின் வகைக்கெழு பூச்சியமாகவோ இருந்தால் (ƒ^′(x₀) = 0), x₀ சார்பின் மாறுநிலை எண் என்றும் ƒ -ன் இணையாட்களத்தில் அமையும் மாறுநிலை எண்ணின் பிம்பம், மாறுநிலை மதிப்பு என்றும் அழைக்கப்படும். மாறுநிலை எண் கருத்தை, ƒ -ன் வரைபடம் மூலமும் காணலாம். ஒரு மாறுநிலைப் புள்ளியில், சார்பின் வளைவரைக்கு தொடுகோடு இல்லாமல் இருக்கலாம் அல்லது தொடுகோடு இருந்தால் அது நிலைக்குத்துக் கோடாகவோ அல்லது கிடைமட்டக் கோடாகவோ இருக்கும். தொடுகோட்டை நிலைக்குத்துக் கோடு அல்லது கிடைக்கோடாக கொண்ட (வகைக்கெழு பூச்சியமாக இருக்கும்) மாறுநிலைப் புள்ளி, சார்பின் நிலைப்புள்ளி என அழைக்கப்படும்.

ஃபெர்மா தேற்றத்தின்படி, இடஞ்சார்ந்த பெருமம் மற்றும் சிறுமம், மாறுநிலைப் புள்ளிகளில் மட்டுமே அமைகிறது. அதாவது ஒவ்வொரு மாறுநிலைப் புள்ளியும் இடஞ்சார்ந்த பெரும அல்லது சிறுமப் புள்ளியாக அமையும். ஆனால் நிலைப் புள்ளிகள் அனைத்தும் பெரும அல்லது சிறுமப் புள்ளிகளாக அமையாது.

• சில நிலைப் புள்ளிகள் பெரும அல்லது சிறுமப் புள்ளிகளாக அமையலாம்.
• சில நிலைப் புள்ளிகள் வளைவுமாற்றுப் புள்ளிகளாக அமையலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

ƒ(x) = x³ சார்பின் வளைவரையில் x = 0 -ல் முதல் வகைக்கெழு பூச்சியம். எனவே இது ஒரு நிலைப் புள்ளி. ஆனால் இப்புள்ளியில் சார்புக்கு பெருமமோ சிறுமமோ கிடையாது. இது வளைவரையின் ஒரு வளைவுமாற்றுப் புள்ளியாகும்.

• சில சமயங்களில் அப்புள்ளியின் அண்மையகத்தில் சார்பின் வரைபடம் அலைவுறலாம்.

ƒ(x) = x²sin(1/x)  ; x ≠ 0 என்ற சார்புக்கு x = 0 எனில் ƒ(0) = 0, .

• சார்பு ƒ(x) = x² + 2x + 3 எங்கும் வகையிடத்தக்கது. இதன் வகைக்கெழு ƒ^′(x) = 2x + 2. வகைக்கெழுவைப் பூச்சியத்துக்கு சமப்படுத்தக் கிடைக்கும் தீர்வு x₀ = −1, இச்சார்பின் ஒரேயொரு மாறுநிலைப் புள்ளியாகும். இப்புள்ளி சார்பின் மீச்சிறு சிறுமமாகும். ƒ -ன் மாறுநிலை மதிப்பு, ƒ(−1) = 2. ƒ -ன் வரைபடம் ஒரு குழிவுப் பரவளையமாகும். இப்பரவளையத்தின் உச்சியின் x அச்சுதூரம் மாறுநிலை எண்ணாகும், y அச்சுதூரம் மாறுநிலை மதிப்பாகும். இப்புள்ளியில் தொடுகோடு கிடைமட்டமாக இருக்கும்.
• சார்பு f(x) = x^2/3 x -ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும் x ≠ 0 -க்கு வகையிடத்தக்கது. வகைக்கெழு ƒ^′(x) = 2x^−1/3/3. x ≠ 0, எனில் ƒ^′(x) ≠ 0 என்பதால் x = 0 ஒன்று மட்டும்தான் ƒ -ன் மாறுநிலைப் புள்ளி. சார்பின் வரைபடம் இப்புள்ளியில் ஒரு கூர் கொண்டதாகவும் நிலைக்குத்தான தொடுகோடு உடையதாகவும் இருக்கும். இப்புள்ளியில் சார்பின் மாறுநிலை மதிப்பு ƒ(0) = 0.
• சார்பு ƒ(x) = x³ − 3x + 1 எங்கும் வகையிடத்தக்கது. வகைக்கெழு ƒ^′(x) = 3x² − 3. வகைக்கெழுவைப் பூச்சியத்துக்குச் சமப்படுத்தக் கிடைக்கும் மாறுநிலை எண்கள் x = −1 மற்றும் x = 1. அவற்றுக்குரிய மாறுநிலை மதிப்புகள் ƒ(−1) = 3, -இது இடஞ்சார்ந்த பெருமம். ƒ(1) = −1 -இது இடஞ்சார்ந்த சிறுமம். ƒ(2) = 3, இதிலிருந்து 3 எனும் மாறுநிலை மதிப்பு மாறுநில எண் அல்லாத x = 2 -லும் கிடைக்கும் சாத்தியம் உள்ளதை அறிந்து கொள்ளலாம். வரைபடத்தின் மூலமாக, சார்பின் மாறுநிலைப்புள்ளி (x = −1) -ல் வளைவரைக்கு வரையப்படும் கிடைமட்டத் தொடுகோடு வளைவரையை மீண்டும் x = 2 புள்ளியில் வெட்டுவதைக் காணலாம்.

இப்பிரிவில் சார்புகளை அனைத்து உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்களும் கொண்ட சார்புகளாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். பல மெய்மாறிகளில் அமைந்த அத்தகைய சார்பின் மாறுநிலைப் புள்ளியில் சார்பின் அனைத்து பகுதி வகைக்கெழுக்களும் பூச்சியமாகும். பன்மடிவெளியில் அமைந்த சார்பின் மாறுநிலைப் புள்ளியில் அச்சார்பின் வகையீடு பூச்சியமாகும்.