Алгебрична поверхня

Алгебрична поверхня — це алгебричний многовид розмірності два. У випадку геометрії над полем комплексних чисел алгебрична поверхня має комплексну розмірність два (як комплексний многовид, якщо він неособливий), а тому має розмірність чотири як гладкий многовид.

Теорія алгебричних поверхонь істотно складніша, ніж теорія алгебричних кривих (включно з компактними рімановими поверхнями, які є справжніми поверхнями (дійсної) розмірності два). Однак багато результатів отримала італійська школа алгебричної геометрії вже майже сто років тому.

У разі розмірності одиниця многовиди класифікують тільки за топологічним родом, але в розмірності два різниця між арифметичним родом ${\displaystyle p_{a}}$ і геометричним родом ${\displaystyle p_{g}}$ стає суттєвою, оскільки ми не можемо розрізнити біраціонально лише топологічний рід. Ми вводимо для класифікації поверхонь поняття іррегулярності^[en].

Приклади алгебричних поверхонь (тут κ — розмірність Кодайри^[en]):

• κ=−∞: проєктивна площина, квадрика в P³, кубічні поверхні, поверхня Веронезе, поверхні дель Пеццо^[en], лінійчаті поверхні
• κ=0 : поверхні K3^[en], абелеві поверхні^[en], поверхні Енрікеса^[en], гіпереліптичні поверхні
• κ=1: еліптичні поверхні^[en]
• κ=2: поверхні загального типу^[en].

Інші приклади можна знайти в статті Список алгебричних поверхонь^[en].

Перші п'ять прикладів фактично біраціонально еквівалентні. Тобто, наприклад, поле раціональних функцій на кубічній поверхні ізоморфне полю раціональних функцій на проєктивній площині, яке є полем раціональних функцій від двох змінних. Декартовий добуток двох кривих також є прикладом.

Біраціональна геометрія алгебричних поверхонь багата завдяки перетворенню «роздуття» (відомому також під назвою «моноїдальне перетворення»), за якого точка замінюється кривою всіх обмежених дотичних напрямків у ній (проєктивною прямою). Деякі криві можна стягнути, але існує обмеження (індекс самоперетину має дорівнювати −1).

Критерій Накаї^[en] каже, що:

Дивізор D^[1] на поверхні S рясний тоді і тільки тоді, коли D² > 0 і D•C > 0 для всіх незвідних кривих C на S ^[2][3].

Рясний дивізор має ту корисну властивість, що він є прообразом дивізора гіперплощини деякого проєктивного простору, властивості якого добре відомі. Нехай ${\displaystyle {\mathcal {D}}(S)}$ - абелева група, що складається з усіх дивізорів на S. Тоді, за теоремою про перетини^[en],

${\displaystyle {\mathcal {D}}(S)\times {\mathcal {D}}(S)\rightarrow \mathbb {Z} :(X,Y)\mapsto X\cdot Y}$

можна розглядати як квадратичну форму. Нехай

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}(S):=\{D\in {\mathcal {D}}(S)|D\cdot X=0}$ для всіх ${\displaystyle X\in {\mathcal {D}}(S)\}}$

тоді ${\displaystyle {\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)}$ стає чисельно еквівалентною групою класів поверхні S і

${\displaystyle Num(S)\times Num(S)\mapsto \mathbb {Z} =({\bar {D}},{\bar {E}})\mapsto D\cdot E}$

також стає квадратичною формою на ${\displaystyle Num(S)}$, де ${\displaystyle {\bar {D}}}$ є образом дивізора D на S. (Нижче для образу ${\displaystyle {\bar {D}}}$ використовується буква D.)

Для рясного пучка H на S визначення

${\displaystyle \{H\}^{\perp }:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.}$

призводить до версії теореми Ходжа про індекс^[en] на поверхні: для ${\displaystyle D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0}$, тобто ${\displaystyle \{H\}^{\perp }}$ є від'ємно визначеною квадратичною формою.

Цю теорему доведено за допомогою критерію Накаї і теореми Рімана — Роха для поверхні. Для всіх дивізорів з ${\displaystyle \{H\}^{\perp }}$ ця теорема істинна. Ця теорема не тільки є інструментом дослідження поверхонь, але її використовував Делінь для доведення гіпотез Вейля, оскільки вона істинна у всіх алгебрично замкнутих полях.

Базовими результатами в теорії алгебричних поверхонь є теорема Ходжа про індекс і розбиття на п'ять груп класів раціональної еквівалентності, відоме як класифікація Енрікеса — Кодайри^[en] або класифікація алгебричних поверхонь. Клас загального типу з розмірністю Кодайри^[en] 2 дуже великий (наприклад, у ньому містяться неособливі поверхні степеня 5 і вище в P³).

Існує три основних числових інваріанти Ходжа для поверхні. Серед них h^1,0, який називається іррегулярністю і позначається як q, і h^2,0, який називається геометричним родом p_g. Третій інваріант, h^1,1, не є біраціональним інваріантом^[en], оскільки роздуття може додати повні криві з класу H^1,1. Відомо, що цикли Ходжа^[en] є алгебричними і що алгебрична еквівалентність^[en] збігається з гомологічною еквівалентністю, так що h^1,1 є верхньою межею для ρ, рангу групи Нерона — Севері^[en]. Арифметичний рід p_a дорівнює різниці: геометричний рід — іррегулярність.

Цей факт пояснює, чому іррегулярність так названо, оскільки є свого роду «залишковим членом».

• Раціональна поверхня

• I.V. Dolgachev. Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. — Springer, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.
• Oscar Zariski. Algebraic surfaces. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1995. — (Classics in Mathematics) — ISBN 978-3-540-58658-6.
• Ж. Аверу, Л. Бернар-Бержери, Ж.-П. Бургуньон, П. Годушон, А. Дердзиньски, Ж. Лафонтен, П. Марри, Д. Мейер, А. Поломбо, П. Сентенак. Четырёхмерная риманова геометрия / Артур Бессе. — М. : «Мир», 1985.
• Р. Хартсхорн. Алгебраическая геометрия. — М. : «Мир», 1981.

• Вільна програма SURFER [Архівовано 2 липня 2017 у Wayback Machine.] для візуалізації алгебричних поверхонь
• SingSurf [Архівовано 8 травня 2017 у Wayback Machine.] — інтерактивний 3D-переглядач алгебричних поверхонь.
• Page on Algebraic Surfaces started in 2008 [Архівовано 3 березня 2016 у Wayback Machine.]
• Overview and thoughts on designing Algebraic surfaces [Архівовано 2 квітня 2017 у Wayback Machine.]