Розмірність Гаусдорфа

Розмірність Гаусдорфа — розмірність множини (в метричному просторі) дорівнює $\liminf \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {\ln(\rho (n))}{\ln(n)}}$ , де $\rho (n)$ — мінімальне число множин діаметра $1/n$ , якими можна покрити множину. Наприклад, у тривимірному евклідовому просторі Гаусдорфова розмірність скінченної множини рівна нулю, розмірність гладкої кривої — одиниці, розмірність гладкої поверхні — двійці і розмірність множини додатного об'єму — трьом. Для фрактальних множин розмірність Гаусдорфа може набувати дробових значень.

Означення

Означення розмірності Гаусдорфа складається з декількох кроків. Нехай $M$ — обмежена множина у метричному просторі $X$ . Наприклад, нехай $X=R^{n}$ .

$\delta$ -покриття

Нехай $\delta >0,\delta \in R$ . Не більш ніж зліченну сім'ю $\{U_{i}\}_{i\in I}$ підмножин простору $X$ будемо називати $\delta$ -покриттям множини $M$ , якщо виконуються такі дві властивості:

$M\subset \bigcup _{i\in I}U_{i}$
для всіх $i\in I$ діаметр ${\text{diam }}U_{i}<\delta$ (для всіх $i\in I$ діаметр множин $U_{i}$ менший за $\delta$ .

ρ-міра Гаусдорфа

Нехай $\rho >0$ . Нехай $\Theta =\{U_{i}\}_{i\in I}$ — покриття множини $M$ . Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: $F_{\rho }(\Theta ):=\sum \limits _{i\in I}(\operatorname {diam} \,U_{i})^{\rho }$ . Позначимо через $M_{\rho }^{\delta }(M)$ «мінімальний розмір» ${\delta }$ -покриття множини $M$ : $M_{\rho }^{\delta }(M):=\inf(F_{\rho }(\Theta ))$ , де інфімум береться по всіх $\delta$ -покриттях множини $M$ . Очевидно, що функція $M_{\rho }^{\delta }(M)$ спадає по $\delta$ . Отже, у неї є скінченна або нескінченна границя при $\delta \rightarrow 0$ : $M_{\rho }(M)=\lim \limits _{\delta \rightarrow 0+}M_{\rho }^{\delta }(M)$ . Величина $M_{\rho }(M)$ називається $\rho$ -мірою Гаусдорфа множини $M$ .

Властивості ρ-міри Гаусдорфа

$\rho$ -міра Гаусдорфа є борелівською мірою на $X$ .
з точністю до множення на коефіцієнт: 1-міра Гаусдорфа для гладких кривих збігається з їх довжиною; 2-міра Гаусдорфа для гладких поверхонь збігається з їх площею; $d$ - міра Гаусдорфа множин у $\mathbb {R} ^{d}$ збігається з їхнім $d$ -мірним об'ємом.
$M_{\rho }(M)$ $M_{\rho }(M)$ спадає по $\rho$ $\rho$ . Більш того для будь-якої множини $M$ $M$ існує критичне значення $\rho _{0}$ $\rho _{0}$ , таке, що:
- $M_{\rho }(M)=0$ для всіх $\rho >\rho _{0}$
- $M_{\rho }(M)=+\infty$ для всіх $\rho <\rho _{0}$ Значення $M_{\rho _{0}}(M)$ може бути нульовим, скінченним або нескінченним.

Визначення розмірності Гаусдорфа

Розмірністю Гаусдорфа множини $M$ називається число $\rho _{0}$ з попереднього пункту.

Властивості розмірності Гаусдорфа

Розмірність Гаусдорфа будь-якої множини не більша за нижню та верхню розмірності Мінковського.
Розмірність Гаусдорфа не більш ніж зліченного об'єднання множин дорівнює максимальній розмірності об'єднаних множин. Зокрема, додавання зліченної множини до будь-якої множини не змінює її розмірності.
Для самоподібних множин розмірність Гаусдорфа може бути обчислена явно. Неформально, якщо множина розбивається на $n$ частин, подібних до вихідної множини з коефіцієнтами $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ , то її розмірність $s$ є розв'язком рівняння $r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1$ . Наприклад, розмірність множини Кантора дорівнює $\ln 2/\ln 3$ (розбивається на дві частини, коефіцієнт подібності 1/3), а розмірність трикутника Серпінського — $\ln 3/\ln 2$ (розбивається на 3 частини, коефіцієнт подібності 1/2).