Розмірність Мінковського

Неформальне міркування, що показує це, є наступним. Відрізок можна розбити на 2 частини, подібні вихідному відрізку з коефіцієнтом 1/2. Щоб покрити відрізок множинами діаметром ${\displaystyle 1/n}$, потрібно покрити кожну з половин такими множинами. Але для половини їх потрібно стільки ж, скільки для всього відрізка множини діаметром ${\displaystyle 2/n}$. Тому для відрізка маємо ${\displaystyle \rho (n)\approx 2\rho (n/2)}$. Тобто, при збільшенні ${\displaystyle n}$ удвічі ${\displaystyle \rho (n)}$ збільшується теж удвічі. Іншими словами, ${\displaystyle \rho (n)}$ — лінійна функція.

Для квадрата аналогічне міркування дає ${\displaystyle \rho (n)\approx 4\rho (n/2)}$. Тобто, при збільшенні ${\displaystyle n}$ удвічі ${\displaystyle \rho (n)}$ збільшується в 4 рази. Іншими словами, ${\displaystyle \rho (n)}$ - квадратична функція.

Нарешті, крива Коха складається з 4 частин, кожна з яких подібна вихідній кривій з коефіцієнтом 1/3. Тому для неї ${\displaystyle \rho (n)\approx 4\rho (n/3)}$. Підставляючи ${\displaystyle n=3^{k}}$, отримуємо ${\displaystyle \rho (3^{k})\approx 4\rho (3^{k-1})\approx 4^{2}\rho (3^{k-2})\approx \dots \approx 4^{k}\rho (1)=4^{\log _{3}n}\rho (1)=n^{\ln 4/ln3}\rho (1)}$. Звідси випливає, що розмірність дорівнює ${\displaystyle \ln 4/ln3}$.

Формально: нехай n — крок фрактала, на n-му кроці у нас буде ${\displaystyle 4^{n}}$ рівних відрізків, довжиною ${\displaystyle 3^{-n}}$. Візьмемо за ε відрізок довжиною ${\displaystyle 3^{-n}}$, тоді щоб покрити всю криву Коха, нам знадобиться ${\displaystyle 4^{n}}$ відрізків. Для того, щоб виконувалося умова ε → 0, спрямуємо n → n→${\displaystyle \infty }$. Отримаємо

  ${\displaystyle \lim \limits _{\epsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\ln(4^{n})}{-\ln(3^{-n})}}={\frac {\ln 4}{\ln 3}}}$