Розмірність Мінковського

Розмірність Мінковського
Названо на честь	Georges Bouligandd і Герман Мінковський
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

Розмірність Мінковського (англ. box-counting dimension) обмеженої множини в метричному просторі дорівнює

${\displaystyle \lim \limits _{\epsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )}}}$,

де ${\displaystyle N_{\epsilon }}$ — мінімальне число множин діаметра ${\displaystyle \epsilon }$, якими можна покрити множину.

Якщо границя не існує, то можна розглядати верхню та нижню границі і говорити відповідно про верхню і нижню розмірності Мінковського.

Близьким до розмірності Мінковського поняттям є розмірність Хаусдорфа. У багатьох випадках ці розмірності збігаються, хоча існують множини, для яких вони різні.

• Розмірність скінченної множини дорівнює нулю, оскільки для неї ${\displaystyle \rho (n)}$ не перевершує кількості елементів у ній.
• Розмірність відрізка дорівнює 1, тому що необхідно ${\displaystyle \lceil a/\epsilon \rceil }$ відрізків довжини ${\displaystyle \epsilon }$, щоб покрити відрізок довжини ${\displaystyle a}$. Таким чином,

  ${\displaystyle \lim \limits _{\epsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )}}=\lim \limits _{\epsilon \to 0}{\frac {\ln a-\ln \epsilon }{-\ln \epsilon }}=1}$,

• Розмірність квадрата дорівнює 2, так як число квадратиків з діагоналлю ${\displaystyle 1/n}$, необхідних, щоб покрити квадрат зі стороною ${\displaystyle a}$, становить приблизно ${\displaystyle a^{2}n^{2}}$.
• Розмірність фракталу може бути дробовим числом. Так, розмірність кривої Коха дорівнює ${\displaystyle \ln 4/\ln 3}$.

Більш детально

Неформальне міркування, що показує це, є наступним. Відрізок можна розбити на 2 частини, подібні вихідному відрізку з коефіцієнтом 1/2. Щоб покрити відрізок множинами діаметром ${\displaystyle 1/n}$, потрібно покрити кожну з половин такими множинами. Але для половини їх потрібно стільки ж, скільки для всього відрізка множини діаметром ${\displaystyle 2/n}$. Тому для відрізка маємо ${\displaystyle \rho (n)\approx 2\rho (n/2)}$. Тобто, при збільшенні ${\displaystyle n}$ удвічі ${\displaystyle \rho (n)}$ збільшується теж удвічі. Іншими словами, ${\displaystyle \rho (n)}$ — лінійна функція.

Для квадрата аналогічне міркування дає ${\displaystyle \rho (n)\approx 4\rho (n/2)}$. Тобто, при збільшенні ${\displaystyle n}$ удвічі ${\displaystyle \rho (n)}$ збільшується в 4 рази. Іншими словами, ${\displaystyle \rho (n)}$ - квадратична функція.

Нарешті, крива Коха складається з 4 частин, кожна з яких подібна вихідній кривій з коефіцієнтом 1/3. Тому для неї ${\displaystyle \rho (n)\approx 4\rho (n/3)}$. Підставляючи ${\displaystyle n=3^{k}}$, отримуємо ${\displaystyle \rho (3^{k})\approx 4\rho (3^{k-1})\approx 4^{2}\rho (3^{k-2})\approx \dots \approx 4^{k}\rho (1)=4^{\log _{3}n}\rho (1)=n^{\ln 4/ln3}\rho (1)}$. Звідси випливає, що розмірність дорівнює ${\displaystyle \ln 4/ln3}$.

Формально: нехай n — крок фрактала, на n-му кроці у нас буде ${\displaystyle 4^{n}}$ рівних відрізків, довжиною ${\displaystyle 3^{-n}}$. Візьмемо за ε відрізок довжиною ${\displaystyle 3^{-n}}$, тоді щоб покрити всю криву Коха, нам знадобиться ${\displaystyle 4^{n}}$ відрізків. Для того, щоб виконувалося умова ε → 0, спрямуємо n → n→${\displaystyle \infty }$. Отримаємо

${\displaystyle \lim \limits _{\epsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\ln(4^{n})}{-\ln(3^{-n})}}={\frac {\ln 4}{\ln 3}}}$

• Розмірність множини Мінковського ${\displaystyle \{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\dots \}}$ дорівнює 1/2.

• Розмірність Мінковського скінченного об'єднання множин дорівнює максимуму з їх розмірностей. На відміну від розмірності Хаусдорфа, це невірно для зліченного об'єднання. Наприклад, множина раціональних чисел між 0 і 1 має розмірність Мінковського 1, хоча є зліченним об'єднанням одноелементних множин (розмірність кожної з яких дорівнює 0). Приклад замкнутої зліченної множини з ненульовою розмірністю Мінковського наведений вище.
• Нижня розмірність Мінковського будь-якої множини більше або дорівнює його розмірності Хаусдорфа.
• Розмірність Мінковського будь-якої множини дорівнює розмірності Мінковського її замикання. Тому має сенс говорити лише про розмірность Мінковського замкнутих множин.

• Розмірність Хаусдорфа
• Фрактал
• Епсилон-ентропія
• Список об'єктів, названих на честь Германа Мінковського

• Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000