Сингулярні гомології

Сингулярні гомології — гомології, що визначаються виходячи з сингулярних симплексів топологічного простору X таким же чином, як звичайні (симпліційні) гомології (і когомології) поліедра — виходячи з лінійного симплекса.

У категорії поліедрів сингулярна теорія еквівалентна симпліційній (а також клітинній). Цим звичайно встановлюється топологічна інваріантність останніх. Проте значення груп сингулярних гомологій цим не вичерпується. Маючи простий опис, вони застосовні у достатньо широких категоріях гомотопно інваріантних топологічних просторів. Природні зв'язки з теорією гомотопій роблять сингулярну теорію незамінною в гомотопній топології.

Проте, хоча групи сингулярних гомологій визначені для будь-яких топологічних просторів без яких-небудь обмежень їх застосування виправдане лише при істотних обмеженнях типу локальної стягуваності або гомологічної локальної зв'язності. Сингулярні ланцюги, будучи за своєю природою «дуже» лінійно зв'язними, не несуть в собі інформацію про «неперервні» цикли, якщо вони не є «достатньо» лінійно зв'язними. Тому в загальних категоріях топологічних просторів замість сингулярних звичайно використовуються когомології Александрова — Чеха і асоційовані з ними гомології.

Під сингулярним симплексом ${\displaystyle \sigma _{n}}$ розуміється неперервне відображення n-вимірного стандартного симплекса ${\displaystyle \sigma _{n}:\Delta ^{n}\to X}$ причому образ ${\displaystyle \sigma _{n}}$ звичайно називається носієм ${\displaystyle \sigma _{n}}$ і позначається ${\displaystyle |\sigma _{n}|}$. Сингулярні ланцюги — формальні лінійні комбінації сингулярних симплексів з коефіцієнтами в абелевій групі G. Вони утворюють групу C_n(X, G). Групи ланцюгів об'єднуються в сингулярний ланцюговий комплекс ${\displaystyle C_{\bullet }(X,G)}$ з граничним гомоморфізмом ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$, що визначається співвідношенням:

${\displaystyle \partial _{n}\sigma _{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}[p_{0},\cdots ,p_{k-1},p_{k+1},\cdots p_{n}]}$

де ${\displaystyle \sigma _{n}=[p_{0},p_{1},\cdots ,p_{n}]=\sigma _{n}([e_{0},e_{1},\cdots ,e_{n}]).}$

Ядро граничного оператора позначається ${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$, і називається групою сингулярних n-циклів. Образ граничного оператора позначається ${\displaystyle B_{n}(X)=\operatorname {im} (\partial _{n+1}),}$ і називається групою сингулярних n-границь.

Також виконується рівність ${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0.}$ n-на гомологічна група простору X визначається як факторгрупа:

${\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}(X)/B_{n}(X).}$

Сингулярні когомології визначаються двоїстим чином. Комплекс коланцюгів ${\displaystyle C^{\bullet }(X,G)}$ визначається як комплекс гомоморфізмів в G комплексу цілочислових сингулярних ланцюгів ${\displaystyle C_{\bullet }(X,\mathbb {Z} )}$. Менш формально, коланцюги — функції ξ, визначені на сингулярному симплексі, що приймають значення в G, а кограничний гомоморфізм d визначається формулою:

${\displaystyle (\partial _{n}\eta )\sigma _{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}(-1)^{k}\eta [p_{0},\cdots ,p_{k-1},p_{k+1},\cdots p_{n}]}$

Сингулярні когомології ${\displaystyle H^{n}(X,G)}$ — це факторгрупи груп n-вимірних коциклів (ядер ${\displaystyle \partial }$) за підгрупами кограниць (образів ${\displaystyle \partial }$).

Гомології і когомології з коефіцієнтами в довільній групі G можуть бути виражені через цілочислові гомології за допомогою формул універсальних коефіцієнтів. Когомології з коефіцієнтами в групі G пов'язані з цілочисловими когомологіями формулами універсальних коефіцієнтів лише для скінченно породжених груп G.

f_# і g_#.

Якщо X і Y є двома гомотопно еквівалентними топологічними просторами, то

${\displaystyle H_{n}(X)\cong H_{n}(Y)\,}$

для всіх n ≥ 0. Це означає, що сингулярні гомологічні групи є гомотопними інваріантами.

Зокрема, якщо X зв'язаним стягуваним простором, то всі його гомологічні групи є тривіальними, за винятком ${\displaystyle H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} }$.

Більш загально, кожне неперервне відображення f: X → Y породжує гомоморфізми

${\displaystyle f_{\sharp }:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(Y),}$

для яких

${\displaystyle \partial f_{\sharp }=f_{\sharp }\partial ,}$

тобто f_# є ланцюговим гомоморфізмом і відповідно породжує гомоморфізм на групах гомології

${\displaystyle f_{*}:H_{n}(X)\rightarrow H_{n}(Y).}$

Тоді якщо f і g є гомотопними відображеннями, то f_* = g_*. Як наслідок, якщо f є гомотопною еквівалентністю, то f_* є ізоморфізмом, оскільки існує неперервне відображення h: Y → X для якого ${\displaystyle h\circ f}$ і ${\displaystyle f\circ h}$ є гомотопними відповідним тотожним відображенням. Тому ${\displaystyle h_{*}\circ f_{*}}$ і ${\displaystyle f_{*}\circ h_{*}}$ є тотожними гомоморфізмами на ${\displaystyle H_{n}(X)}$ і ${\displaystyle H_{n}(Y)}$ відповідно, тож h_* є оберненим гомоморфізмом до f_*.

Для доведення факту, що f_* = g_* для гомотопних відображень, достатньо побудувати ланцюгову гомотопію:

${\displaystyle P:C_{n}(X)\rightarrow C_{n+1}(Y)}$

між ланцюговими гомоморфізмами f_# і g_#.

Нехай F : X × [0, 1] → Y є гомотопією між f і g. Вона породжує ланцюгові гомоморфізми :${\displaystyle F_{\sharp }:C_{n}(X\times [0,1])\rightarrow C_{n}(Y).}$ Якщо ${\displaystyle i_{0}:X\rightarrow X\times 0}$ і ${\displaystyle i_{1}:X\rightarrow X\times 1}$ є відповідними вкладеннями то достатньо побудувати ланцюгову гомотопію

${\displaystyle P':C_{n}(X)\rightarrow C_{n+1}(X\times [0,1])}$

між ${\displaystyle (i_{0})_{\sharp }}$ і ${\displaystyle (i_{1})_{\sharp }}$. Тоді ${\displaystyle P=F_{\sharp }\circ P'}$ буде необхідною ланцюговою гомотопією між f_# і g_#.

Оскільки ${\displaystyle P'}$ відображає базові елементи σ: Δⁿ → X із C_n(X) у елемент із C_n+1(X × [0, 1]) то має зміст розглянути Δⁿ × [0, 1]. Цей топологічний простір можна триангулювати індукцією по розмірності кістяка. Для розмірності менше 0 є порожньою множиною. Якщо побудована триангуляція для всіх k < r і λ є деяким симплексом розмірності r, то для границі ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ за припущенням індукції існує триангуляція простору ${\displaystyle {\bar {\lambda }}\times [0,1].}$ Якщо позначити ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$ точку ${\displaystyle (b,1/2)}$ для барицентра b відповідного симплекса то симплексами у триангуляції (Δⁿ)^r × [0, 1] будуть усі симплекси μ із триангуляції (Δⁿ)^{r - 1} × [0, 1], а також симплекси виду ${\displaystyle ({\hat {\lambda }}\mu )}$ для симплексів μ із триангуляції ${\displaystyle {\bar {\lambda }}\times [0,1]}$ (тобто симплекси ${\displaystyle {\bar {\lambda }}\times [0,1]}$вершинами яких є ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$ і вершини симплекса μ) для всіх симплексів λ розмірності r, самі точки ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$ для цих симплексів і також симплекси ${\displaystyle \lambda \times 0}$ і ${\displaystyle \lambda \times 1}$ і ${\displaystyle {\hat {\lambda }}\lambda \times 0}$ з ${\displaystyle {\hat {\lambda }}\lambda \times 1}$ Для r = n зокрема одержується триангуляція Δⁿ × [0, 1].

Припустимо, що вже побудовано ${\displaystyle P':C_{r}(X)\rightarrow C_{r+1}(X\times [0,1])}$ для всіх r < n і всіх просторів X (для r < 0 можна взяти нульовий гомоморфізм). Для сингулярного симплекса σ: Δⁿ → X визначимо:

${\displaystyle P'(\sigma )=(\sigma \times 1)_{\sharp }\left(a\left[\Delta _{n}\times 1-\Delta _{n}\times 0-P'\partial \Delta _{n}\right]\right).}$

Вище позначено точку ${\displaystyle a=(b,1/2)}$ для барицентра b і для довільного симплекса ${\displaystyle \Delta }$ вираз ${\displaystyle a\Delta }$ позначає симплекс із вершинами із ${\displaystyle \Delta }$ і a із продовженням по лінійності. Також за індукцією ${\displaystyle P'\partial \Delta _{n}}$ є лінійною комбінацією симпліційних відображень.

Для цього гомоморфізму

${\displaystyle \partial P'(\sigma )=(\sigma \times 1)_{\sharp }\left(\Delta _{n}\times 1-\Delta _{n}\times 0-P'\partial \Delta _{n}-a\partial \left[\Delta _{n}\times 1-\Delta _{n}\times 0-P'\partial \Delta _{n}\right]\right)}$

Але ${\displaystyle \partial \left[\Delta _{n}\times 1-\Delta _{n}\times 0-P'\partial \Delta _{n}\right]=\partial \Delta _{n}\times 1-\partial \Delta _{n}\times 0-\partial P'\partial \Delta _{n}.}$ Згідно припущення індукції для n - 1 і простору ${\displaystyle \Delta _{n}}$:

${\displaystyle \partial P'\partial \Delta _{n}=\partial P'\partial \Delta _{n}+P'\partial \partial \Delta _{n}=(i_{1})_{\sharp }\partial \Delta _{n}-(i_{0})_{\sharp }\partial \Delta _{n}=\partial \Delta _{n}\times 1-\partial \Delta _{n}\times 0.}$

Звідси ${\displaystyle a\partial \left[\Delta _{n}\times 1-\Delta _{n}\times 0-P'\partial \Delta _{n}\right]=0}$ і тому:

${\displaystyle \partial P'(\sigma )=(\sigma \times 1)_{\sharp }\left(\Delta _{n}\times 1-\Delta _{n}\times 0-P'\partial \Delta _{n}\right)=(i_{1})_{\sharp }(\sigma )-(i_{0})_{\sharp }(\sigma )-P'\partial (\sigma ),}$

що завершує індуктивний крок у побудові гомоморфізму ${\displaystyle P'}$ і відповідно також гомоморфізму P який і буде ланцюговою гомотопією між f_# і g_#.

• ∪-добуток
• Когомологія де Рама
• Ланцюговий комплекс
• Ланцюгова гомотопія
• Послідовність Маєра — Вієторіса
• Симпліційна гомологія

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — Москва: МЦНМО, 2005
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — Москва: Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — Москва: Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — Москва: ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — Москва: МЦНМО, 2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — Москва: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — Москва: Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. —Москва: Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — Москва: Наука, 1989