Топологічна група

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Характер групи Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

Топологі́чна гру́па — група, яка одночасно є топологічним простором, при цьому множення елементів групи і обертання елемента є неперервними.

Нехай на множині G задані структури групи і топологічного простору, так, що множення

${\displaystyle G\times G\to G:(x,y)\mapsto xy}$

і операція взяття оберненого елементу

${\displaystyle G\to G:x\mapsto x^{-1}}$

— неперервні функції. Тут G × G розглядається як добуток топологічних просторів. Тоді G називається топологічною групою.

Еквівалентно достатньо вимагати неперервність відображення:

${\displaystyle G\times G\to G:(x,y)\mapsto xy^{-1}}$

Лише однієї вимоги неперервності множення є недостатньо. Наприклад якщо на множині цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ввести топологію у якій відкритими множинами є ${\displaystyle \varnothing ,\;\mathbb {Z} }$ і інтервали виду ${\displaystyle [n,\infty ),}$ то стандартна операція додавання буде неперервною у цій топології, а взяття оберненого елемента (зміна знаку) — ні.

Хоча формально такої вимоги нема але багато авторів вимагають додатково, щоб простір G був гаусдорфовим.

Гомоморфізмом топологічних груп називається гомоморфізм груп G → H, що є також неперервним відображенням між топологічними просторами. Топологічні групи із їх гомоморфізмами утворюють категорію.

Аналогічно ізоморфізмом топологічних груп називають ізоморфізм груп, що є гомеоморфізмом між топологічними просторами.

• Довільна абстрактна група із дискретною топологією або антидискретною топологією.
• Векторна група ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ — прямий добуток n екземплярів адитивної групи дійсних чисел із стандартною топологією
• Коло — факторгрупа ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ групи ${\displaystyle \mathbb {R} }$ по підгрупі цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Множина раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ із топологією породженою стандартною метрикою
• Множина p-адичних цілих чисел із топологією породженою p-адичною нормою
• Групи Лі є топологічними групами із додатковою структурою диференційовного многовиду
• Топологічні векторні простори є топологічними групами щодо операції додавання елементів векторного простору. Простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ із прикладу вище є одним із прикладів топологічного векторного простору.

• Операція множення на групі задає відображення ${\displaystyle l_{g}:x\to gx}$ і ${\displaystyle r_{g}:x\to xg.}$ Оскільки вони є композиціями тотожного відображення, константи ${\displaystyle G\to g}$ і множення у групі, то обидва ці відображення є неперервними. Оскільки ${\displaystyle l_{g^{-1}}}$ і ${\displaystyle r_{g^{-1}}}$є неперервними і оберененими до ${\displaystyle l_{g}}$ і ${\displaystyle r_{g}}$ то всі ${\displaystyle l_{g}}$ і ${\displaystyle r_{g}}$ є гомеоморфізмами.
• З попереднього випливає, що якщо для деяких підмножин ${\displaystyle A,B\subset G}$ позначити ${\displaystyle gA:=l_{g}(A),\ Ag:=r_{g}(A),\ AB=\cup _{a\in B}aB}$ то для відкритої (замкнутої) підмножини ${\displaystyle A,}$ усі підмножини ${\displaystyle gA}$ і ${\displaystyle Ag}$ теж будуть відкритими (замкнутими). Також якщо хоча б одна із підмножин ${\displaystyle A,B}$ буде відкритою, то ${\displaystyle AB}$ і ${\displaystyle BA}$ будуть відкритими підмножинами. Якщо ж одна із цих підмножин буде замкнутою, а інша — скінченною, то ${\displaystyle AB}$ і ${\displaystyle BA}$ будуть замкнутими підмножинами.
• У комутативній топологічній групі компактної підмножини ${\displaystyle K}$ і замкнутої множини ${\displaystyle C}$ також ${\displaystyle KC}$ буде замкнутою множиною.
• Якщо 𝒩 є базою околів одиничного елемента G то для кожного g ∈ G,

  x𝒩 := { xN : N ∈ 𝒩} є базою околів точки g. Тому топологія у групі однозначно визначається базою околів одиничного елемента (чи будь-якого елемента групи). Більш детально, якщо сім'я ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ підмножин групи G, що містять одиничний елемент задовільняє умови:

  1. Для кожних ${\displaystyle U,V\in {\mathcal {B}}}$ існує ${\displaystyle W\in {\mathcal {B}}}$ для якої ${\displaystyle W\subseteq U\cap V}$
  2. Для кожної ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ існує ${\displaystyle V\in {\mathcal {B}}}$ для якої ${\displaystyle V^{-1}V\subseteq U}$
  3. Для кожної ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ і g ∈ U існує ${\displaystyle V\in {\mathcal {B}}}$ для якої ${\displaystyle Vg\subseteq U}$
  4. Для кожної ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ і g ∈ G існує ${\displaystyle V\in {\mathcal {B}}}$ для якої ${\displaystyle gVg^{-1}\subseteq U}$

то існує єдина топологія на групі для якої ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ є базою відкритих околів одиничного елемента.

• Базу околів завжди можна вибрати так щоб її елементами були тільки симетричні множини, тобто множини для яких ${\displaystyle V^{-1}=V.}$
• Топологічні групи є регулярними просторами. Для топологічної групи з одиничним елементом 1, твердження нижче є еквівалентними:
  1. G є T₀-простором;
  2. G є гаусдорфовим простором;
  3. G є цілком регулярним простором;
  4. Множина { 1} є замкнутою у G;
  5. Для g ∈ G і g ≠ 1 існує окіл U одиничного елемента у G для якого g ∉ U.

• Теорема Біркгофа — Какутані. Топологічна група є метризовною тоді і тільки тоді коли вона є гаусдорфовою і задовольняє першу аксіому зліченності. Із попередніх властивостей твердження можна перефразувати, що група є метризовною коли одиничний елемент є замкнутою підмножиною і для нього існує зліченна база околів. Для метризовних груп завжди існують лівоінваріантні і правоінваріантні метрики тобто метрики ${\displaystyle d_{1},\ d_{2}}$ такі, що для всіх ${\displaystyle x,y,g\in G}$ виконуються рівності ${\displaystyle d_{1}(x,y)=d_{1}(gx,gy)}$ і ${\displaystyle d_{2}(x,y)=d_{2}(xg,yg).}$

• Підгрупа H топологічної групи G є топологічною групою для індукованої топології. Факторпростір G/H суміжних класів забезпечується фактортопологією щодо канонічного відображення групи G на G/H. Відображення q : G → G/H завжди є відкритим.

• Якщо H є нормальною підгрупою топологічної групи G, то факторгрупа G/H є топологічною групою щодо фактортопології.
• Компонента зв'язності одиничного елемента групи G₀ завжди є замкнутою нормальною підгрупою. Факторгрупа G/G₀ є цілком незв'язаною.
• Для будь якого елемента g ∈ G компонента зв'язності, що містить цей елемент має вигляд gG₀ або еквівалентно G₀g, тобто компонентами зв'язності є ліві і праві класи суміжності по підгрупі G_0.

• Кожна відкрита підгрупа H є також замкнутою у G, оскільки доповнення H є об'єднанням відкритих множин gH для g ∈ G \ H. Якщо H є підгрупою G то і замикання H є підгрупою. Зокрема якщо H є нормальною підгрупою, то і замикання H є нормальною підгрупою у G.

• Факторпростір G/H є гаусдорфовим тоді і тільки тоді коли підгрупа H є замкнутою у (не обов'язково гаусдорфовій) групі G. Якщо підгрупа H і факторпростір G/H є гаусдорфовими, то і група G є гаусдорфовою. Факторпростір G/H завжди є регулярним.

• Як і кожна абстрактна група топологічна група G задовольняє групові теореми про ізоморфізми. У випадку першої теореми про ізоморфізм якщо гомоморфізм топологічних груп ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ є не лише неперервним, а й відкритим (або замкнутим) відображенням, то ізоморфізм груп ${\displaystyle G\!{\big /}\!{\ker \varphi }}$ і образу гомоморфізма ${\displaystyle \varphi }$ є також гомеоморфізмом, тобто також і ізоморфізмом у категорії топологічних груп. Додаткові вимоги для гомоморфізму є необхідними. Якщо, наприклад, розглянути тор ${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$ і неперервний гомоморфізм ${\displaystyle \varphi _{\lambda }:\mathbb {R} \to T}$ заданий як ${\displaystyle t\to (e^{2\pi it},\,e^{2\pi i\lambda t})}$ для ірраціонального числа ${\displaystyle \lambda }$, то ${\displaystyle \varphi _{\lambda }}$ є ін'єктивним відображенням і його образ є ізоморфний як група адитивній групі дійсних чисел. Проте із індукованою топологією він не є гомеоморфний множині дійсних чисел із стандартною топологією, оскільки будь-який окіл довільної точки містить як завгодно великі дійсні числа.

Для третьої теореми про ізоморфізм якщо ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle K}$ — нормальні підгрупи в ${\displaystyle G}$, такі що ${\displaystyle K\subseteq N}$, тоді існує ізоморфізм груп ${\displaystyle (G\!{\big /}\!K)\!{\Big /}\!(N\!{\big /}\!K)}$ і ${\displaystyle G\!{\big /}\!N}$ і він також завжди є гомеоморфізмом відповідних топологічних просторів, тобто також і ізоморфізмом у категорії топологічних груп.

Для другої теореми про ізоморфізм для ${\displaystyle S}$ — підгрупи в ${\displaystyle G}$ і ${\displaystyle N}$ — нормальної підгрупи в ${\displaystyle G}$ ізоморфізм факторгруп ${\displaystyle (SN)/N}$ і ${\displaystyle S/(S\cap N)}$ може не бути гомеоморфізмом. Наприклад нехай ${\displaystyle G=\mathbb {R} ,\!N=\mathbb {Z} }$ і ${\displaystyle S=\lambda \mathbb {Z} ,}$ де ${\displaystyle \lambda }$ є деяким ірраціональним числом і груповою операцією в усіх групах є звичайне додавання. Тоді ${\displaystyle S\cap N=\{0\}}$ і тому ${\displaystyle S/(S\cap N)=S,}$ тобто є дискретним простором ізоморфним адитивній групі цілих чисел. Натомість ${\displaystyle N+S=\mathbb {Z} +\lambda \mathbb {Z} }$ є щільною підмножиною дійсних чисел, а тому ${\displaystyle (S+N)/N=(\mathbb {Z} +\lambda \mathbb {Z} )\!{\big /}\!\mathbb {Z} }$ є щільною підмножиною кола ${\displaystyle S^{1}=\mathbb {R} \!{\big /}\!\mathbb {Z} .}$ Відповідно ${\displaystyle (S+N)/N}$ не є дискретним простором оскільки кожна його відкрита підмножина містить нескінченну кількість елементів. Відповідно простори ${\displaystyle S/(S\cap N)}$ і ${\displaystyle (S+N)/N}$ не є гомеоморфними.

Топологічна група ${\displaystyle G}$ є рівномірним простором якщо прийняти, що підмножина ${\displaystyle V\subset G\times G}$ є оточенням якщо і тільки якщо вона містить множину ${\displaystyle \{(x,y):xy^{-1}\in U\}}$ для деякого околу ${\displaystyle U}$ одиничного елемента групи ${\displaystyle G}$. Ця рівномірна структура на ${\displaystyle G}$ називається правою рівномірною структурою на ${\displaystyle G}$, оскільки для кожного елемента ${\displaystyle a\in G}$, праве множення ${\displaystyle x\to xa}$ є рівномірно неперервним щодо цієї рівномірної структури.

Також можна ввести ліву рівномірну структуру на ${\displaystyle G}$, вони можуть бути різними але породжують однакову топологію на ${\displaystyle G}$.

Існування рівномірної структури на топологічній групі дозволяє ввести і використовувати поняття рівномірної неперервності, послідовності Коші, повноти і поповнення.

Якщо ${\displaystyle \ f_{1},f_{2}\colon [0,1]\to G}$ є петлями в одиничному елементі (тобто ${\displaystyle \ f_{1}(0)=f_{2}(0)=f_{1}(1)=f_{2}(1)=1_{G}}$) то для фундаментальної групи ${\displaystyle \pi _{1}(G,1_{G})}$ множення визначається множенням у самій групі ${\displaystyle G,}$ тобто ${\displaystyle \ [f_{1}][f_{2}]=[f_{1}*f_{2}]=[f_{1}f_{2}],}$ де ${\displaystyle f_{1}f_{2}}$ є петлею одержаною звичайним множенням у групі, тобто ${\displaystyle (f_{1}f_{2})(t)=f_{1}(t)f_{2}(t).}$ Аналогічно у фундаментальній групі ${\displaystyle \ [f_{1}]^{-1}=[f_{1}^{-1}].}$

Фундаментальна група топологічної групи є комутативною.

Оскільки будь-яка петля ${\displaystyle \ f_{1}\colon [0,1]\to G}$ у елементі ${\displaystyle g\in G}$ є неперервним образом петлі ${\displaystyle \ g^{-1}f_{1}}$ при відображенні ${\displaystyle l_{g}}$ і дві петлі ${\displaystyle \ f_{1},f_{2}\colon [0,1]\to G}$ у елементі ${\displaystyle g}$ є гомотопними тоді і тільки тоді коли гомотопними є відповідні петлі ${\displaystyle \ g^{-1}f_{1}}$ і ${\displaystyle \ g^{-1}f_{2}}$ то всі фундаментальні групи ${\displaystyle \pi _{1}(G,g)}$ є ізоморфними ${\displaystyle \pi _{1}(G,1_{G})}$ і групу ${\displaystyle \pi _{1}(G,1_{G})}$ як правило просто позначають ${\displaystyle \pi _{1}(G).}$

Визначальну роль в побудові теорії топологічних групі відіграла п'ята проблема Гільберта. Сформульована в 1900 як проблема про локальні групи перетворень, ця проблема була переосмислена в процесі розвитку теорії топологічних груп.

У сучасних термінах проблему можна сформулювати як: чи є будь-яка топологічна група, що є також топологічним многовидом групою Лі?

П'ята проблема Гільберта була вирішена у 1952. Важливим елементом стало доведення критерію, що локально компактна група ${\displaystyle G}$ є групою Лі тоді і тільки тоді, коли у ${\displaystyle G}$ існує окіл одиниці, який не містить нетривіальних підгруп.

Було показано також, що локально компактна група ${\displaystyle G}$ з компактною факторгрупою G/G₀ є проективною границею груп Лі.

• H-простір
• Група Лі
• Топологічний векторний простір

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Топологічні групи. Числа і пов'язані з ними групи і простори. — М. : Наука, 1969. — С. 392. — (Елементи математики)(рос.)
• Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.)
• Higgins, Philip J. (1974), An Introduction to Topological Groups, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 15, Cambridge University Press, ISBN 0-521-20527-1
• Montgomery, Deane; Zippin, Leo (1955), Topological Transformation Groups, New York, London: Interscience Publishers, MR 0073104