Арифметична геометрія
 У математиці арифметична геометрія — це наближене застосування методів алгебричної геометрії до задач теорії чисел[1]. Арифметична геометрія зосереджена навколо діофантової геометрії, вивчення раціональних точок алгебричних многовидів[2][3]. В абстрактніших термінах арифметичну геометрію можна визначити як дослідження схем скінченного типу[en] над спектром кільця цілих чисел. ОглядКласичним об'єктом інтересу в арифметичній геометрії є раціональні точки: множини розв'язків системи поліноміальних рівнянь[en] над числовими полями, скінченними полями, p-адичними полями або функціональними полями[en], тобто полями, які не є алгебрично замкнутими, за винятком дійсних чисел. Раціональні точки можна безпосередньо схарактеризувати функціями висоти[en], які вимірюють їх арифметичну складність[4]. Структура алгебричних многовидів, визначених над неалгебрично замкнутими полями, стала центральною сферою інтересів, яка виникла з розвитком алгебричної геометрії. Етальна когомологія[en] забезпечує топологічні інваріанти[en] над скінченними полями, пов'язані з алгебричними многовидами[5]. p-Адична теорія Ходжа[en] дає інструменти для дослідження того, коли когомологічні властивості многовидів над комплексними числами поширюються на многовиди над p-адичними полями[6]. ІсторіяXIX століття: рання арифметична геометріяНа початку XIX століття Карл Фрідріх Гаусс зауважив, що ненульові цілі розв'язки однорідних поліноміальних рівнянь із раціональними коефіцієнтами існують, якщо існують ненульові раціональні розв'язки[7]. У 1850-х роках Леопольд Кронекер сформулював теорему Кронекера — Вебера, представив теорію дивізорів і встановив численні інші зв'язки між теорією чисел і алгеброю. Потім він сформулював свою «liebster Jugendtraum»[en] («найдорожча мрія юності»), узагальнення, яку пізніше Гільберт висунув у модифікованій формі як його дванадцяту проблему, яка окреслює мету змусити теорію чисел працювати лише з кільцями, які є частками кілець многочленів над цілими числами[8]. Початок-середина XX століття: алгебричні розробки та гіпотези ВейляНаприкінці 1920-х років Андре Вейль продемонстрував глибокі зв'язки між алгебричною геометрією та теорією чисел у своїй докторській праці, яка привела до теореми Морделла — Вейля[en], яка демонструє, що множина раціональних точок абелевого многовиду є скінченнопородженою абелевою групою[9]. Сучасні основи алгебричної геометрії розробили на основі сучасної комутативної алгебри, включно з теорією нормування та теорією ідеалів, Оскар Зарицький та інші в 1930-х і 1940-х роках[10]. У 1949 році Вайль висунув знакові гіпотези Вейля про локальні дзета-функції алгебричних многовидів над скінченними полями[11]. Ці гіпотези заклали зв'язок між алгебричною геометрією та теорією чисел, що спонукало Александра Гротендіка в 1950-х і 1960-х роках переробити основи, використовуючи теорію пучків (разом із Жаном-П'єром Серром), а пізніше теорію схем[12]. 1960 року Бернард Дворк[en] довів одну з чотирьох гіпотез Вейля (раціональність локальної дзета-функції)[13]. Гротендік розробив теорію етальної когомології і до 1965 року довів дві гіпотези Вейля (разом із Майклом Артіном[en] і Жаном-Луї Вердьє[en])[5][14]. Останню з гіпотез Вейля (аналог гіпотези Рімана) остаточно довів 1974 року П'єр Делінь[15]. Середина-кінець XX століття: розвиток модульності, p-адичних методів і даліМіж 1956 і 1957 роками Ютака Таніяма[en] і Горо Шимура висунули гіпотезу Таніями — Шимури (тепер відому як теорема модулярності), яка пов'язує еліптичні криві з модульними формами[16][17]. Цей зв'язок, зрештою, приведе до першого доведення[en] великої теореми Ферма в теорії чисел за допомогою методів алгебричної геометрії (підняття модульності[en]), які 1995 року розробив Ендрю Вайлс[18]. У 1960-х роках Горо Шимура ввів многовиди Шимури[en] як узагальнення модулярних кривих[en][19]. Від 1979 року многовиди Шимури відіграють вирішальну роль у програмі Ленглендса[en] як природне джерело прикладів для перевірки припущень[20]. У статтях 1977 та 1978 років Баррі Мазур[en] довів торсійну гіпотезу[en], надавши повний список можливих торсійних підгруп еліптичних кривих над раціональними числами. Перше Мазурове доведення цієї теореми залежало від повного аналізу раціональних точок на деяких модулярних кривих[21][22]. 1996 року Лоїк Мерель[en] поширив доведення торсійної гіпотези на всі числові поля[23]. 1983 року Герд Фалтінгс довів гіпотезу Морделла, продемонструвавши, що крива роду, більшого від 1, має лише скінченну кількість раціональних точок (де теорема Морделла — Вейля демонструє лише скінченне породження множини раціональних точок на відміну від скінченності)[24][25]. 2001 року доведення локальних гіпотез Ленглендса для GLn[en] ґрунтувалося на геометрії деяких многовидів Шимури[26]. У 2010-х роках Петер Шольце розробив перфектоїдні простори[en] та нові теорії когомології в арифметичній геометрії над p-адичними полями із застосуванням до представлень Галуа[en] та деяких випадків гіпотези вагової монодромії[27][28]. Див. також
Примітки
|
Portal di Ensiklopedia Dunia
