Тороїдальний многогранник

У геометрії тороїдальний многогранник — це многогранник, який є також тороїдом (тор з g дірками), має топологічний рід g, рівний 1 або вище.

Варіанти визначення

Тороїдальні многогранники визначаються як набір многокутників, які мають спільні вершини і ребра, утворюючи многовид. Тобто, кожне ребро має бути спільним рівно для двох многокутників, вершинна фігура кожної з вершин має бути одним циклом із многокутників, яким дана вершина належить. Для тороїдальних многогранників цей многовид буде орієнтованою поверхнею^[1]. Деякі автори обмежують поняття «тороїдальний многогранник» до многогранників, топологічно еквівалентних (роду 1) тору^[2].

Тут слід розрізняти вкладені тороїдальні многогранники, межі яких є плоскими многокутниками в тривимірному евклідовому просторі, які не перетинають один одного, від абстрактних многогранників, топологічних поверхонь без певної геометричної реалізації^[3]. Серединою між цими двома крайнощами можна вважати занурені тороїдальні многогранники, тобто многогранники, утворені многокутниками або зіркоподібними многокутниками в евклідовому просторі, яким дозволено перетинати один одного.

У всіх цих випадках тороїдальна природа многогранників може бути перевірена орієнтованістю і ейлеровою характеристикою, яка для цих многогранників не позитивна.

Многогранники Часара і Силаші

Два найпростіші можливі вкладені тороїдальні многогранники — це многогранники Часара і Силаші.

Многогранник Часара^[ru] — це тороїдальний многогранник з сімома вершинами, 21 ребром і 14 трикутними гранями^[4]. Тільки цей многогранник і тетраедр (з відомих) володіють властивістю, що будь-який відрізок, що з'єднує вершини многогранника є ребром многогранника^[5]. Двоїстим многогранником є многогранник Силаші^[ru], який має 7 шестикутних граней, кожна пара яких суміжні одна з одною^[6], забезпечуючи половину теореми про те, що максимальне значення кольорів для малювання карти на торі (роду 1) дорівнює семи^[7].

Многогранник Часара має найменше можливе число вершин, яке може мати вкладений тороїдальний многогранник, а многогранник Силаші має найменше можливе число граней.

Тороїди Стюарта

Тороїди Стюарта

Шість шестикутних призм	Чотири квадратні куполи 8 тетраедрів	Вісім октаедрів

Спеціальна категорія тороїдальних многогранників будується виключно за допомогою правильних многокутних граней без їх перетину з додатковим обмеженням, що суміжні грані не лежать в одній площині. Ці многогранники називаються тороїдами Стюарта^[8] за іменем професора Бонні Стюарта^[en], який досліджував їх існування^[9]. Вони аналогічні тілам Джонсона у випадку опуклих многогранників, але, на відміну від них, існує нескінченно багато тороїдів Стюарта^[10]. Ці многогранники включають також тороїдальні дельтаедри, многогранники, грані яких є рівносторонніми трикутниками.

Обмежений клас тороїдів Стюарта, також визначених Стюартом, — це квазіопуклі тороїдальні многогранники. Це тороїди Стюарта, які включають всі ребра їхніх опуклих оболонок. У цих многогранників кожна грань опуклої оболонки або лежить на поверхні тороїда, або є многокутником, ребра якого лежать на поверхні тороїда^[11].

Занурені многогранники

Октагеміоктаедр^[en]	Малий кубооктаедр^[en]	Великий додекаедр

Многогранник, утворений системою многокутників, що перетинаються, у просторі — це многогранне занурення абстрактного топологічного многовиду, утвореного його многокутниками і його системою ребер і вершин. Прикладами є октагеміоктаедр^[en] (рід 1), малий кубооктаедр^[en] (рід 3) і великий додекаедр (рід 4).

П'ятикутний стефаноїд. Цей стефаноїд має п'ятикутну діедральну симетрію і має ті ж самі вершини, що й однорідна п'ятикутна призма.

Корончастий многогранник (або стефаноїд) — це тороїдальний многогранник, який є благородним^[en] многогранником, оскільки є як ізогональним (однакові типи вершин), так і ізоедральним (однакові грані). Корончастий многогранник самоперетинається і є топологічно самодвоїстим^[12].

Див. також

Примітки

↑ Whiteley, (1979); Stewart, (1980), стр. 15.
↑ Webber, 1997, с. 31—44.
↑ Whiteley, 1979, с. 46—58, 73.
↑ Császár, 1949, с. 140—142.
↑ Ziegler, 2008, с. 191—213.
↑ Szilassi, 1986, с. 69—80.
↑ Heawood, 1890, с. 322—339.
↑ Webb, 2000, с. 231—268.
↑ Stewart, 1980.
↑ Stewart, 1980, с. 15.
↑ Stewart, (1980), «Quasi-convexity and weak quasi-convexity», стр. 76—79.
↑ Grünbaum, 1994, с. 43—70.

Література

Branko Grünbaum. Polytopes: Abstract, Convex and Computational. — Kluwer Academic Publishers, 1994. — Т. 440. — DOI:10.1007/978-94-011-0924-6_3.. См., в частности, стр. 60.
Robert Webb. Stella: polyhedron navigator // Symmetry: Culture and Science. — 2000. — Т. 11, вип. 1—4.
B. M. Stewart. Adventures Among the Toroids: A Study of Orientable Polyhedra with Regular Faces. — 2nd. — B. M. Stewart, 1980. — ISBN 978-0-686-11936-4.
Lajos Szilassi. Regular toroids // Structural Topology. — 1986. — Т. 13.^{[недоступне посилання з Грудень 2017]}
P. J. Heawood. Map colouring theorems // Quarterly J. Math. Oxford Ser.. — 1890. — Т. 24.
A. Császár. A polyhedron without diagonals // Acta Sci. Math. Szeged. — 1949. — Т. 13.
Günter M. Ziegler. Discrete Differential Geometry / A. I. Bobenko, P. Schröder, J. M. Sullivan, G. M. Ziegler. — Springer-Verlag, 2008. — Т. 38. — ISBN 978-3-7643-8620-7. — arXiv:math.MG/0412093. — DOI:10.1007/978-3-7643-8621-4_10.
Walter Whiteley. Realizability of polyhedra // Structural Topology. — 1979. — Вип. 1.
William T. Webber. Monohedral idemvalent polyhedra that are toroids // Geometriae Dedicata^[en]. — 1997. — Т. 67, вип. 1. — DOI:10.1023/A:1004997029852.