Правильногранний многогранник називають тілом Джонсона або многогранником Джонсона, якщо він не є ні платоновим тілом (правильним многогранником), ні архімедовим, ні призмою, ні антипризмою.
Прикладом тіла Джонсона є піраміда з квадратною основою і бічними гранями у вигляді правильних трикутників (J1(М2)). Вона має 1 квадратну грань і 4 трикутних.
Як і в кожного строго опуклого тіла, в цих многогранників до кожної вершини примикає щонайменше три грані і сума їхніх кутів (прилеглих до вершини) менша від 360º. Оскільки правильні многокутники мають кути щонайменше 60º, до вершини можуть прилягати максимум п'ять граней. П'ятикутна піраміда[en] (J2) є прикладом, у якому є вершина п'ятого порядку (тобто з п'ятьма гранями).
Хоча немає явного обмеження на правильні многокутники, які можуть служити гранями тіл Джонсона, насправді грані можуть мати тільки 3, 4, 5, 6, 8 або 10 сторін, причому трикутні грані (не менше чотирьох) має будь-яке з тіл Джонсона.
Подовжений чотирисхилий повернутий бікупол (J37), який називають також псевдоромбокубооктаедром[1] єдиний з тіл Джонсона має властивість локальної вершинної однорідності — в кожній вершині сходяться 4 грані і їхнє розташування однакове — 3 квадрати і 1 трикутник. Однак тіло вершинно-транзитивним не є, оскільки має різну ізометрію в різних вершинах, що й робить його тілом Джонсона, а не архімедовим тілом.
Історія
1966 року Норман Джонсон[en] опублікував список усіх 92 тіл і дав їм назви й номери. Він висловив гіпотезу, що їх тільки 92, тобто інших немає.
Раніше, 1946 року Л. Н. Єсаулова надіслала О. Д. Александрову листа, в якому довела, що правильногранних многогранників (крім 5 правильних многогранників, 13 напівправильних і двох нескінченних серій (призм та антипризм) може існувати лише скінченне число. 1961 року Александров передав цього листа В. А. Залгаллеру[ru], можливо через нотатки Джонсона 1960 року.[2] 1967 року Залгаллер опублікував доведення того, що список Джонсона повний. До виконання було залучено групу школярів школи № 239. Повне доведення зайняло близько 4 років з залученням комп'ютерної техніки. В доведенні також істотно використовувалась теорема Александрова про опуклі многогранники.
Бі- означає, що дві копії тіл з'єднані основами. Для куполів і ротонд вони можуть бути з'єднані гранями одного типу (прямі) або різних (повернуті). Октаедр, наприклад, є квадратною біпірамідою, кубооктаедр — повернутим трикутним бікуполом, а ікосододекаедр — повернутою п'ятикутною біротондою.
Подовжений означає, що до тіла приєднано призму або її вставлено між двома частинами тіла. Ромбокубооктаедр, наприклад, є подовженим квадратним прямим куполом.
Скручений подовжений означає, що до тіла приєднано антипризму або її вставлено між двома частинами тіла. Ікосаедр, наприклад, є скрученою подовженою п'ятикутною біпірамідою.
Нарощений означає, що піраміда або купол приєднані до грані тіла.
Відсічений означає, що піраміду або купол відрізано від тіла.
Скручений означає, що купол, який належить многограннику, повернуто так само, як у повернутих бікуполах.
Останні три операції — нарощення, відсікання і поворот — на досить великих многогранниках можуть бути виконані більше одного разу. Для операцій, здійснених два рази, додається двічі. (Двічі скручене тіло має два повернутих куполи.) Для операцій, виконаних три рази, додається тричі. (У тричі відсіченого тіла видалено три піраміди або куполи.)
Іноді слова двічі недостатньо. Необхідно відрізняти тіла, в яких змінено дві протилежні грані від тіл, в яких змінено інші грані. Коли змінені грані паралельні, до назви додається протилежно. (Двічі протилежно нарощене тіло має дві паралельні грані (протилежні) з доданими тілами.) Якщо ж зміни стосуються граней, які не є протилежними, до назви додається, косо. (Двічі косо нарощене тіло має дві грані з доданими тілами, але ці грані не протилежні.)
Кілька назв походять від многокутників, з яких зібрано тіло Джонсона.
Якщо визначити місяць як групу з двох трикутників, приєднаних до квадрата, слово клинокорона відповідає клиноподібній короноподібній групі, утвореній двома місяцями. Слово двоклиноїд або двоклинник означає дві такі групи.
У цій статті використовуються назви зі статті Залгаллера[3]. Разом з номерами многогранників, даними Джонсоном, у дужках наведено складений номер зі статті Залгаллера. У цьому складеному номері
Пn позначає призму з n-кутною основою.
Аn позначає антипризму з n-кутною основою.
Мn позначає тіло з індексом n (тобто в цьому випадку тіло будується на основі іншого тіла).
Підкреслення означає поворот тіла.
Зауваження: Мn не збігається з Jn. Так, квадратна піраміда J1(М2) має індекс 1 у Джонсона і індекс 2 у Залгаллера.
Список
Піраміди
Перші два тіла Джонсона, J1 і J2, є пірамідами. Трикутна піраміда є правильним тетраедром, тобто не є тілом Джонсона.
Наступні п'ять многогранників Джонсона є подовженими і скрученими подовженими пірамідами. Їх отримують склеюванням двох многогранників. У разі скрученої подовженої трикутної піраміди три пари суміжних трикутників копланарні, тобто тіло не є многогранником Джонсона.
Скручені подовжені бікуполи, куполоротонди і біротонди
Кирпаті[en]антипризми можна побудувати альтеруванням зрізаних антипризм. Два тіла є многогранниками Джонсона, одне тіло правильне, а решту неможливо побудувати за допомогою правильних трикутників.
Кирпаті[en]антипризми можна побудувати альтеруванням зрізаних антипризм. Два тіла є многогранниками Джонсона, одне тіло правильне, а решту неможливо побудувати за допомогою правильних трикутників.
25 многогранників Джонсона мають вершини, які лежать на одній сфері: 1-6, 11, 19, 27, 34, 37, 62, 63, 72-83. Всі ці многогранники можна отримати з правильних або однорідних многогранників шляхом повороту (купола) або відсікання (купола чи піраміди)[4].
Norman W. Johnson[en]. Convex Solids with Regular Faces // Canadian Journal of Mathematics. — 1966. — Т. 18 (1 травня). — С. 169—200. — ISSN0008-414X. — DOI:10.4153/cjm-1966-021-8. (Містить оригінальне перерахування 92 тіл і гіпотезу, що інших немає.)
Anthony Pugh. Глава 3. Дальнейшие выпуклые многогранники // Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.
Брёндстед А. Введение в теорию выпуклых многогранников. — М. : Мир, 1988.
