N-кістяк

N-кістяк у математиці, зокрема в алгебраїчній топології, є топологічним простором X, який представлений у вигляді симпліційного комплексу (відповідно CW-комплексу), який належить до підпростору X_n, що є об'єднанням симплексів X (відповідно клітин X) розмірів m ≤ n. Іншими словами, враховуючи індуктивне визначення комплексу, n-кістяк отримується, зупинкою на n-му кроці.

Ці підпростори збільшуються зі значенням n. 0-кістяк являє собою дискретний простір, а також 1-кістяк топологічного графа. Скелети простору використовуються в теорії обструкцій^[en], для побудови спектральних послідовностей^[en] за допомогою фільтрації, і взагалі для створення індуктивних аргументів. Вони особливо важливі, коли X має нескінченну розмірність в тому сенсі, X_n не стає постійним, коли ${\displaystyle n\to \infty }$.

В геометрії, a k-кістяк n-багатогранника P (функціонально представлені у вигляді skel_k(P)) складаються з усіх i-політопів, які мають розмірність не більше k.^[1]

Наприклад:

skel₀(куб) = 8 вершин: skel₁(куб) = 8 вершин, 12 ребер: skel₂(куб) = 8 вершин, 12 ребер, 6 квадратних граней

Вищезгадане визначення кістяка симпліційного комплексу — це окремий випадок поняття кістяка симпліційної множини. Коротко кажучи, спрощений набір ${\displaystyle K_{*}}$ може бути описаний сукупністю множин ${\displaystyle K_{i},\ i\geqslant 0}$, разом з гранями і виродження між ними задовольняють ряд рівнянь. Ідея n-кістяку ${\displaystyle sk_{n}(K_{*})}$ — це спочатку відкинути набори ${\displaystyle K_{i}}$ із ${\displaystyle i>n}$, а потім доповнити колекцію ${\displaystyle K_{i}}$ із ${\displaystyle i\leqslant n}$ до «найменшої можливої» симпліційної множини, так що отримана симпліційна множина не містить ніяких вироджених симплексів степені ${\displaystyle i>n}$.

Більш точно, обмеження функтора

${\displaystyle i_{*}:\Delta ^{op}Sets\rightarrow \Delta _{\leqslant n}^{op}Sets}$

має лівого спряженого, який позначається як ${\displaystyle i^{*}}$.^[2] (Нотації ${\displaystyle i^{*},i_{*}}$ є порівнянними з функторами зображень для пучків^[en].) n-кістяк симпліційної множини ${\displaystyle K_{*}}$ визначається як

${\displaystyle sk_{n}(K):=i^{*}i_{*}K.}$

Крім того, ${\displaystyle i_{*}}$ має правий спряжений ${\displaystyle i^{!}}$. n-кокістяк визначається як

${\displaystyle \cos k_{n}(K):=i^{!}i_{*}K.}$

Наприклад, 0-skeleton K являє собою постійний симпліційну множину, визначену як ${\displaystyle K_{0}}$. 0-кокістяк визначається нервом^[en] Чеха

${\displaystyle \dots \rightarrow K_{0}\times K_{0}\rightarrow K_{0}.}$

(Граничний та вироджений морфізми задаються різними проєкціями та діагональними вкладеннями, відповідно.)

Наведені вище конструкції працюють для більш загальних категорій (замість множин), за умови, що у категорії є розшарований добуток. Кокістяк необхідний для визначення поняття гіперпокриття^[en] в гомотопичній алгебрі^[en] і алгебраїчній геометрії.^[3]

• Геометричний кістяк

• Weisstein, Eric W. Skeleton(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.