Задача Бертрана

Задача Бертрана — задача, адваротная да задачы двух целаў. Заключаецца ў вызначэнні сілы ўзаемадзеяння па вядомых уласцівасцях траекторый руху.

Першая задача Бертрана

Ньютан паказаў, што яго закон сусветнага прыцягнення і яго механіка прыводзяць да эмпірычных законаў Кеплера, але пакінуў адкрытым у сваёй працы Principia Mathematica (англ.) (бел. пытанне аб тым, ці існуюць іншыя ўзаемадзеянні, што вядуць да законаў Кеплера. Сітуацыя змянілася толькі ў 1870-х гадах, калі Бертран і яго калегі звярнуліся да наступнай задачы:

Першая задача Бертрана. Знайсці закон сіл, якія залежаць толькі ад становішча рухомага пункта і прымушаюць яго апісваць канічныя сячэнні, якія б ні былі пачатковыя ўмовы.

Гэтая задача была паспяхова вырашана Дарбу і Альфенам (пазней рашэнне спрасціў Поль Апэль^[1]) пры дадатковай умове, што сіла цэнтральная, а затым удалося адкінуць і гэту ўмову^[2]. Аказалася, што такіх узаемадзеянняў два — закон сусветнага прыцягнення і закон Гука. Тым самым пытанне, што заставалася з часоў Ньютана, было вычарпальна вырашана: для вываду закона сусветнага прыцягнення дастаткова было даведацца з вопыту, што траекторыі планет — канічныя сячэнні і што гэты закон — не закон Гука.

Другая задача Бертрана

Здагадку аб цэнтральнай сіле, зрэшты, можна было б зрабіць і з агульных меркаванняў сіметрыі задачы.

Другая задача Бертрана. Ведаючы, што сіла, якая выклікае рух планеты вакол Сонца, залежыць толькі ад адлегласці і прымушае свой пункт прыкладання апісваць замкнёную крывую, якія б ні былі пачатковыя ўмовы, калі толькі хуткасць меншая за пэўнае гранічнае значэнне, знайсці закон гэтай сілы.

Адказ кароткі: закон сілы можа быць або законам Гука, або законам сусветнага прыцягнення.

Задача вырашана самім Бертранам^[3]. Найбольш поўнае рашэнне прыведзена ў нататцы Дарбу да механікі Дэпейру^[4].

Задача Кенігса

Кенігс (G. Koenigs) прапанаваў яшчэ больш агульную задачу:

Задача Кенігса. Ведаючы, што сіла, якая выклікае рух планеты вакол Сонца, залежыць толькі ад адлегласці і прымушае свой пункт прыкладання апісваць алгебраічную крывую, якія б ні былі пачатковыя ўмовы, знайсці закон гэтай сілы.

Як гэта ні дзіўна, адказ той жа: закон сілы можа быць або законам Гука, або законам сусветнага прыцягнення.

Вычарпальнае рашэнне задачы дадзена самім Кенігсам^[5].

Заўвагі

Крыніцы

↑ Апэль, Механіка, т. 1, п. 232.
↑ Despeyrous T. Cours de mécanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886.
↑ Bertrand J. // C.R. T. LXXVII. P. 849—853.
↑ Despeyrous T. Cours de mécanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886. P. 461—466. Гэтая ж задача прадстаўлена ў выглядзе цыкла задач да § 8 гл. 2 кнігі: Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: УРСС, 2000.
↑ Koenigs G. // Bull. de la Société de France, t. 17, p. 153—155.

[1] Апэль, Механіка, т. 1, п. 232.

[2] Despeyrous T. Cours de mécanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886.

[3] Bertrand J. // C.R. T. LXXVII. P. 849—853.

[4] Despeyrous T. Cours de mécanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886. P. 461—466. Гэтая ж задача прадстаўлена ў выглядзе цыкла задач да § 8 гл. 2 кнігі: Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: УРСС, 2000.

[5] Koenigs G. // Bull. de la Société de France, t. 17, p. 153—155.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]