Ураўненне Кеплера

Ураўненне Кеплера апісвае рух цела па эліптычнай арбіце ў задачы двух цел і мае выгляд:

${\displaystyle ~E-\varepsilon \sin E=M}$

дзе ${\displaystyle E}$ - эксцэнтрычная анамалія, ${\displaystyle \varepsilon }$ - эксцэнтрысітэт, ${\displaystyle M}$ - сярэдняя анамалія.

Упершыню гэта ўраўненне было атрымана астраномам Іаганам Кеплерам ў 1619 годзе. Адыгрывае значную ролю ў нябеснай механіцы.

Ураўненне Кеплера ў класічнай форме апісвае рух толькі па эліптычных арбітах, гэта значыць пры 0 ≤ ε <1. Рух па гіпербалічнай арбітах (ε > 1) падпарадкоўваецца гіпербалічнаму ўраўненні Кеплера, падобныя па форме з класічным. Рух па прамой лініі (ε = 1) апісваецца радыяльным ураўненнем Кеплера. Нарэшце, для апісання руху па парабалічнай арбіце (ε = 1) выкарыстаюць ураўненне Баркера. Пры ε < 0 арбіт не існуе.

Разгледзім рух цела па арбіце ў поле іншага цела. Знойдзем залежнасць становішча цела на арбіце ад часу. З II закона Кеплера вынікае, што

${\displaystyle r^{2}{\frac {d\upsilon }{dt}}=const={\sqrt {\mu a\left(1-\varepsilon ^{2}\right)}}}$.

Тут r - адлегласць ад да цела ад цэнтра, які гравітуе, υ - сапраўдная анамалія - вугал паміж напрамкамі на перыцэнтр арбіты і на цела, μ = GM₀ - твор пастаяннага прыцягнення на масу цела, якое гравітуе, a - вялікая паўвось арбіты. Адсюль можна атрымаць залежнасць часу руху па арбіце ад сапраўднай анамаліі:

${\displaystyle t-t_{p}={\frac {1}{\sqrt {\mu a\left(1-\varepsilon ^{2}\right)}}}\int \limits _{0}^{\upsilon }r^{2}d\upsilon }$.

Тут t_p - час праходжанне праз перыцэнтр.

Далейшае рашэнне задачы залежыць ад тыпу арбіты, па якой рухаецца цела.

Рашэнне ўраўнення Кеплера ў эліптычнаму і гіпербалічнаму выпадках існуе і адзіна пры любых рэчыўных M. Для кругавой арбіты (ε = 0) ураўненне Кеплера прымае трывіяльны выгляд М = E. У агульным выглядзе ўраўненне Кеплера трансцэндэнтнае, яно не вырашаецца ў алгебраічных функцыях. Аднак, яго рашэнне можна знайсці рознымі спосабамі з дапамогай збежных шэрагаў. Агульнае рашэнне ўраўнення Кеплера можна запісаць з дапамогай шэрагаў Фур'е:

${\displaystyle E=M+2\cdot \sum _{n=1}^{n}{\frac {1}{n}}J_{n}\left(n\varepsilon \right)\cdot \sin {nM}}$,

дзе

${\displaystyle J_{m}\left(x\right)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\cos \left(mE-x\sin {E}\right)dE}$

— функцыя Бессэля.

Гэты шэраг сыходзіцца, калі велічыня ε не перавышае значэнні мяжы Лапласа.

Сярод лікавых метадаў рашэння ўраўнення Кеплера часта выкарыстоўваюцца метад нерухомай кропкі («метад простай ітэрацыі») і метад Ньютана. Для эліптычнага выпадку ў метадзе нерухомай кропкі за пачатковае значэнне E₀ можна ўзяць M, а паслядоўныя набліжэння маюць наступны выгляд:

${\displaystyle E_{n+1}=\varepsilon \sin E_{n}+M}$

У гіпербалічных выпадку метад нерухомай кропкі падобным чынам выкарыстаць нельга, аднак гэты метад дае магчымасць вывесці для такога выпадку іншую формулу набліжэнняў (з гіпербалічным арксінусам):

${\displaystyle H_{n+1}=\operatorname {Arsh} {\frac {H_{n}+M}{\varepsilon }}}$

• Д. Е. Охоцимский, Ю. Г. Сихарулидзе. Основы механики космического полета. — Москва, «Наука», 1990 г.
• В. Е. Жаров. Сферическая астрономия. Век-2, 2006 г. ISBN 5-85099-168-9
• Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.