コルモゴロフの拡張定理

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数学の測度論におけるコルモゴロフの拡張定理（コルモゴロフのかくちょうていり、英: Kolmogorov extension theorem）とは、全ての自然数n に対して、n次元ユークリッド空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ のボレル集合体 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ 上の測度 ${\displaystyle m_{n}}$ が定義され、その測度列 ${\displaystyle (m_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ が両立条件を満たしている（順に拡張されている）ならば、測度 ${\displaystyle m_{n}}$ は可算無限直積 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ 上に一意に拡張できることを述べた定理である。

つまり、自然数n に対して

測度空間 ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),m_{n})}$

（${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ は実数全体からなる集合 n個の直積、${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ はボレル集合体、${\displaystyle m_{n}:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow [0,\infty ]}$ は測度）

が定義され、両立条件：

${\displaystyle m_{n}(A)=m_{n+k}(A\times \mathbb {R} ^{k})\quad (A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),k\in \mathbb {N} )}$

を満たしているとき、ある測度 ${\displaystyle m:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\infty })\rightarrow [0,\infty ]}$ で、

${\displaystyle m(A\times \mathbb {R} ^{\infty })=m_{n}(A)\quad (A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))}$

を満たすものが一意に存在する。ここで、${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ を ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ に埋め込んだ集合 ${\displaystyle A\times \mathbb {R} ^{\infty }\subset \mathbb {R} ^{\infty }}$ を A の筒集合（柱状集合、英: cylinder set）という。

ロシア（ソビエト）の数学者アンドレイ・コルモゴロフの名に因む^[1]。

本定理により、コイントスやさいころを何回も投げるといった反復試行の確率を、無限回の操作に対しても考えることができる。

• カラテオドリの拡張定理
• ホップの拡張定理
• 前測度

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表 話 編 歴 確率論
確率の歴史	アンドレイ・コルモゴロフ トーマス・ベイズ アンドレイ・マルコフ ジョゼフ・L・ドゥーブ 伊藤清
確率の定義	客観確率 統計的確率 古典的確率 公理的確率 主観確率 ベイズ確率 確率の拡張 外確率 負の確率
基礎概念	モデル 試行 結果 事象 標本空間 確率測度 確率空間 確率変数 確率変数の収束 確率分布 離散確率分布 連続確率分布 同時分布 周辺分布 条件付き確率分布 独立同分布 関数 確率質量関数 確率密度関数 累積分布関数 特性関数 用語 独立 期待値 モーメント 条件付き確率 条件付き期待値
確率の解釈	ベルトランの逆説 3囚人問題 モンティ・ホール問題 サンクトペテルブルクのパラドックス 合接の誤謬 ギャンブラーの誤謬
問題	壺問題 クーポンコレクター問題
法則・定理	ベイズの定理 大数の法則 中心極限定理 コルモゴロフの0-1法則 デ・フィネッティの定理 ウィーナー＝ヒンチンの定理
測度論	確率測度の拡張 カラテオドリの拡張定理 E.ホップの拡張定理 コルモゴロフの拡張定理 ヴィタリの収束定理 優収束定理 ラプラス原理 スコロホッドの表現定理
確率微分方程式	伊藤の補題
確率過程	独立増分過程 定常過程 マルチンゲール マルコフ過程 マルコフ性 マルコフ連鎖 マルコフ決定過程 部分観測マルコフ決定過程 マルコフ再生過程 ウィーナー過程 ブラウン運動 幾何ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ベルヌーイ過程 ガウス過程 自己相似過程 経験過程 中華料理店過程 オルンシュタイン＝ウーレンベック過程
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