確率的ボラティリティモデル

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確率的ボラティリティモデル（英: Stochastic volatility model, SV model）は、計量経済学の時系列分析の一分野で、ボラティリティ（二次変動）が時間に依存し変動するモデルである。

最初期のARCHモデルは1982年にEngleによって提示された ^[1]。 1986年、Engleの弟子Bollerslevは、ARCHモデルを一般化したGARCHモデル（がーちモデル、英: Generalized ARCH model）を提唱した ^[2]。

1993年、スティーブン・ヘストンが誘導系の確率ボラティリティモデルとしてHestonモデルを提唱し、原資産のボラティリティ変化を記述した数理モデルを構築した。^[3]

数理ファイナンスにおいて、オプションなどのデリバティブや有価証券を評価するのに使われるモデルである。原資産となる有価証券のボラティリティを確率過程として取り扱うことからこのような名称となっている。

ブラック・ショールズ方程式ではボラティリティは定数として取り扱われ時間や原資産価格の変動に影響されないと仮定している。しかしこのモデルでは、インプライド・ボラティリティがオプションの権利行使価格や権利行使期日によって異なることを示唆するボラティリティ・スマイル(Volatility smile)やボラティリティ・スキュー(Volatility skew)を説明できない。

そこで確率的ボラティリティモデルでは、原資産価格のボラティリティは時間あるいは原資産価格などの状態変数の変化により影響を受けると仮定することで、より精緻なモデル化を可能としている。

ブラック・ショールズ方程式などのモデルでは、次のように原資産価格はドリフト μ およびボラティリティ σ を定数とする幾何ブラウン運動に従うと仮定している。

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$

ここで、

μ は原資産価格 S_t の期待収益率で定数

σ はボラティリティで定数

dW_t は平均 0 分散 1 の正規分布に従うウィーナー過程

確率的ボラティリティモデルでは、定数であるボラティリティ σ を関数 σ_t に置き換える。 この関数 σ_t は、ブラウン運動として記述されるが、その詳細は各確率的ボラティリティモデルによって異なってくる。

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma _{t}S_{t}\,dW_{t}\,}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha _{\sigma _{t},t}\,dt+\beta _{\sigma _{t},t}\,dB_{t}\,}$

ここで、

${\displaystyle \alpha _{\sigma _{t},t}\,}$ と ${\displaystyle \beta _{\sigma _{t},t}\,}$ は σ_t の関数。

dB_t は dW_t とは別のガウス分布で、ρ∈[-1, 1] を相関係数(定数)とする相関関係をもつ。

• Hestonモデル
• SABRモデル
• GARCHモデル

1. ^ Engle, R. F. (1982). “Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation”. Econometrica 50 (4): 987-1007. https://www.jstor.org/stable/1912773. 
2. ^ Bollerslev, T. (1986). “Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity”. Journal of Econometrics 31 (3): 307-327. doi:10.1016/0304-4076(86)90063-1. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304407686900631. 
3. ^ "A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options", by Steven L. Heston, The Review of Financial Studies 1993 Volume 6, number 2, pp. 327–343 [1]

• Stochastic Volatility and Mean-variance Analysis, Hyungsok Ahn, Paul Wilmott, (2006).
• A closed-form solution for options with stochastic volatility, SL Heston, (1993).
• Inside Volatility Arbitrage, Alireza Javaheri, (2005).
• Accelerating the Calibration of Stochastic Volatility Models, Kilin, Fiodar (2006).

• ボラティリティ

表 話 編 歴 確率論
確率の歴史	アンドレイ・コルモゴロフ トーマス・ベイズ アンドレイ・マルコフ ジョゼフ・L・ドゥーブ 伊藤清
確率の定義	客観確率 統計的確率 古典的確率 公理的確率 主観確率 ベイズ確率 確率の拡張 外確率 負の確率
基礎概念	モデル 試行 結果 事象 標本空間 確率測度 確率空間 確率変数 確率変数の収束 確率分布 離散確率分布 連続確率分布 同時分布 周辺分布 条件付き確率分布 独立同分布 関数 確率質量関数 確率密度関数 累積分布関数 特性関数 用語 独立 期待値 モーメント 条件付き確率 条件付き期待値
確率の解釈	ベルトランの逆説 3囚人問題 モンティ・ホール問題 サンクトペテルブルクのパラドックス 合接の誤謬 ギャンブラーの誤謬
問題	壺問題 クーポンコレクター問題
法則・定理	ベイズの定理 大数の法則 中心極限定理 コルモゴロフの0-1法則 デ・フィネッティの定理 ウィーナー＝ヒンチンの定理
測度論	確率測度の拡張 カラテオドリの拡張定理 E.ホップの拡張定理 コルモゴロフの拡張定理 ヴィタリの収束定理 優収束定理 ラプラス原理 スコロホッドの表現定理
確率微分方程式	伊藤の補題
確率過程	独立増分過程 定常過程 マルチンゲール マルコフ過程 マルコフ性 マルコフ連鎖 マルコフ決定過程 部分観測マルコフ決定過程 マルコフ再生過程 ウィーナー過程 ブラウン運動 幾何ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ベルヌーイ過程 ガウス過程 自己相似過程 経験過程 中華料理店過程 オルンシュタイン＝ウーレンベック過程
情報量	最大エントロピー原理 交差エントロピー 結合エントロピー カルバック・ライブラー情報量 相互情報量
応用	数理ファイナンス ブラック–ショールズ方程式 確率的ボラティリティモデル 系統学 ベイズ法
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