3囚人問題

「囚人のジレンマ」とは異なります。

3囚人問題（さんしゅうじんもんだい、英: Three Prisoners problem）は確率論の問題で、マーティン・ガードナーによって1959年に紹介された^[1][2]。「ベルトランの箱のパラドクス（英語版）」を下敷きにしていると考えられている。

ある監獄にA、B、Cという3人の囚人がいて、それぞれ独房に入れられている。罪状はいずれも似たりよったりで、近々3人まとめて処刑される予定になっている。ところが恩赦が出て3人のうちランダムに選ばれた1人だけ助かることになったという。誰が恩赦になるかは明かされておらず、それぞれの囚人が「私は助かるのか？」と聞いても看守は答えない。したがって囚人Aが恩赦になる確率はこの時点では1/3であると考えられる。

囚人Aは一計を案じ、看守に向かってこう頼んだ。「BとCのどちらが処刑されるかだけでも教えてくれないか？」すると看守は「Bは処刑される」と教えてくれた。

それを聞いた囚人Aはひそかに喜んだ。Bが死刑になる事は確定した以上、恩赦になるのはAかCのいずれか一方であるはずであり、したがってAが恩赦になる確率は1/2に上昇したからである。

果たして囚人Aが喜んだのは正しいか？

結論を述べるためにまず記号を定義し、簡単な考察をする。「Aが恩赦になる」、「Bが恩赦になる」、「Cが恩赦になる」という事象を略記してそれぞれA、B、Cと書き、「看守が「Bは死刑になる」と答える」という事象をbとする。

看守はA自身が死刑になるか否かを答えないのであるから、恩赦になるのがBの場合、看守は必ず「Cは死刑になる」と答える。同様の理由により、恩赦になるのがCの場合、看守は必ず「Bは死刑になる」と答える。すなわち、

${\displaystyle \Pr[b\mid B]=0,~~~\Pr[b\mid C]=1}$   …①

である。

しかし恩赦を受けるのがA自身であるケースでは、看守は「Bは死刑になる」という回答と「Cは死刑になる」という回答のいずれを答えるか任意に選ぶ事ができる。すなわち、

${\displaystyle \Pr[b\mid A]}$

がいくつになるのかは3囚人問題のセッティングのみからは決まらず、看守の性格や思考等に依存して決まる。従って看守の答えを聞いて囚人Aが喜んだのが正しいか否かは、この${\displaystyle \Pr[b\mid A]}$がどのような値になるのかに依存して異なる^[3]。

 これをみるために「Bは死刑になる」と看守から聞いた後Aが恩赦になる事後確率${\displaystyle \Pr[A\mid b]}$を求める。恩赦がランダムに決まるという仮定より

${\displaystyle \Pr[A]=\Pr[B]=\Pr[C]={1 \over 3}}$    …②

であるので、ベイズの定理より、

${\displaystyle \Pr[A\mid b]={\Pr[b\mid A]\Pr[A] \over \Pr[b]}={\Pr[b\mid A]\Pr[A] \over \Pr[b\mid A]\Pr[A]+\Pr[b\mid B]\Pr[B]+\Pr[b\mid C]\Pr[C]}{\underset {(2)}{=}}{\Pr[b\mid A] \over \Pr[b\mid A]+\Pr[b\mid B]+\Pr[b\mid C]}{\underset {(1)}{=}}{\Pr[b\mid A] \over \Pr[b\mid A]+1}}$ 

である^[3]。具体的な値をいくつか代入してみると、

${\displaystyle \Pr[A\mid b]={\begin{cases}{1 \over 2}&{\text{if }}\Pr[b\mid A]=1\\{1 \over 3}&{\text{if }}\Pr[b\mid A]={1 \over 2}\\0&{\text{if }}\Pr[b\mid A]=0.\end{cases}}}$ 

したがって最初に述べたように、「Bは死刑になる」と看守から聞いた後Aが恩赦になる事後確率${\displaystyle \Pr[A\mid b]}$は、Aが恩赦されるケースで看守が「Bが死刑となる」と答える確率${\displaystyle \Pr[b\mid A]}$に依存して値が変わる。

もしAが確率${\displaystyle \Pr[b\mid A]}$に関して何ら情報を持たないなら、${\displaystyle \Pr[b\mid A]={1 \over 2}}$と仮定するのは自然である(最大エントロピー原理)^[3]。この場合には、看守の返答後にAが恩赦になる確率 ${\displaystyle \Pr[A\mid b]}$は 1/3のままである。すなわち「恩赦の確率が1/2にあがった」という囚人Aが喜んだのは間違っている事になる。 

しかしAが${\displaystyle \Pr[b\mid A]}$に関する何らかの情報（例えば「看守はBを嫌っている」という情報）を持っている場合は、必ずしも${\displaystyle \Pr[b\mid A]={1 \over 2}}$とするのは自然ではない^[3]。

仮に${\displaystyle \Pr[b\mid A]=1}$であれば、 ${\displaystyle \Pr[A\mid b]={1 \over 2}}$ となる為、囚人Aが喜んだのは正しい事になる。  一方${\displaystyle \Pr[b\mid A]=0}$であれば${\displaystyle \Pr[A\mid b]=0}$ より、看守の返答を聞いたことによりAが恩赦になる確率は0に下がってしまう。

上ではA、B、Cが恩赦を受ける確率はいずれも1/3である事を仮定し、${\displaystyle \Pr[b\mid A]={1 \over 2}}$なら囚人が喜んだのは間違っている事を見た。

しかし例えば、恩赦になる確率だけをそれぞれA＝1/4、B＝1/4、C＝1/2に変えると、（${\displaystyle \Pr[b\mid A]={1 \over 2}}$であっても）看守が「Bは死刑になる」と答えることでAの恩赦確率は1/5とかえって低下してしまう^[4][5]。

直感的・主観的に捉えて予想した確率と本当の確率^{[注釈 1]}が一致しないのはなぜか、さらに、解答を説明されても即座に理解できなかったり、理解したつもりでも納得できないのはなぜか、という研究が認知心理学の研究分野で行われた。

看守の返答を聞いた後Aが恩赦になる確率のアンケートを行ったある研究^{[注釈 2]}では、回答者の76％が1/2、14％が1/3と解答している^[5]。しかし、確率は統計に基づくことを説明するヒントを載せたところ、この比率は逆転した^[5]。

1. ^ Gardner, Martin (October 1959). “Mathematical Games: Problems involving questions of probability and ambiguity”. Scientific American 201 (4): 174-182. doi:10.1038/scientificamerican1059-174. 
2. ^ Gardner, Martin (1959). “Mathematical Games: How three modern mathematicians disproved a celebrated conjecture of Leonhard Euler”. Scientific American 201 (5): 188. doi:10.1038/scientificamerican1159-181. 
3. ^ ^{a b c d} Judea Pearl (1988/9/1). Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems: Networks of Plausible Inference. Morgan Kaufmann Series in Representation and Reasoning. Morgan Kaufmann. p. 61. ISBN 978-1558604797 
4. ^ 市川伸一 著、日本認知科学会編 編『確率の理解を探る――3囚人問題とその周辺』共立出版〈認知科学モノグラフ 10〉、1998年5月。ISBN 4-320-02860-0。 
5. ^ ^{a b c} 小林厚子 (1998年). “確率判断の認知心理(1) 、『東京成徳大学研究紀要』第5号” (pdf). 2017年11月10日閲覧。 p3-5

• 感染者問題
• 囚人のジレンマ

表 話 編 歴 確率論
確率の歴史	アンドレイ・コルモゴロフ トーマス・ベイズ アンドレイ・マルコフ ジョゼフ・L・ドゥーブ 伊藤清
確率の定義	客観確率 統計的確率 古典的確率 公理的確率 主観確率 ベイズ確率 確率の拡張 外確率 負の確率
基礎概念	モデル 試行 結果 事象 標本空間 確率測度 確率空間 確率変数 確率変数の収束 確率分布 離散確率分布 連続確率分布 同時分布 周辺分布 条件付き確率分布 独立同分布 関数 確率質量関数 確率密度関数 累積分布関数 特性関数 用語 独立 期待値 モーメント 条件付き確率 条件付き期待値
確率の解釈	ベルトランの逆説 3囚人問題 モンティ・ホール問題 サンクトペテルブルクのパラドックス 合接の誤謬 ギャンブラーの誤謬
問題	壺問題 クーポンコレクター問題
法則・定理	ベイズの定理 大数の法則 中心極限定理 コルモゴロフの0-1法則 デ・フィネッティの定理 ウィーナー＝ヒンチンの定理
測度論	確率測度の拡張 カラテオドリの拡張定理 E.ホップの拡張定理 コルモゴロフの拡張定理 ヴィタリの収束定理 優収束定理 ラプラス原理 スコロホッドの表現定理
確率微分方程式	伊藤の補題
確率過程	独立増分過程 定常過程 マルチンゲール マルコフ過程 マルコフ性 マルコフ連鎖 マルコフ決定過程 部分観測マルコフ決定過程 マルコフ再生過程 ウィーナー過程 ブラウン運動 幾何ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ベルヌーイ過程 ガウス過程 自己相似過程 経験過程 中華料理店過程 オルンシュタイン＝ウーレンベック過程
情報量	最大エントロピー原理 交差エントロピー 結合エントロピー カルバック・ライブラー情報量 相互情報量
応用	数理ファイナンス ブラック–ショールズ方程式 確率的ボラティリティモデル 系統学 ベイズ法
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