行列の階数

線型代数学における行列の階数（かいすう、rank; ランク）は、行列の特徴を表す最も基本的な数の一つ。行列に同伴する線型方程式系および線型変換がどのくらい「非退化」であるかを示す数である。行列の階数には幾つもの同値な定義がある。

例えば、行列 $A$ の階数 $rank(A)$ （あるいは $rk(A)$ または丸括弧を落として $rank A$ ）は、 $A$ の列空間（列ベクトルの張るベクトル空間）の次元^[1]に等しく、また $A$ の行空間の次元^[2]とも等しい。行列の階数は、対応する線型写像の階数である。

行列の階数の概念はジェームス・ジョセフ・シルベスターが考えた^[3]。

定義

任意の行列 $A$ について、以下はいずれも同値である。

$A$ の列ベクトルの線型独立なものの最大個数（ $A$ の列空間の次元）
$A$ の行ベクトルの線型独立なものの最大個数（ $A$ の行空間の次元）
$A$ に基本変形を施して階段行列 $B$ を得たとする。このときの $B$ の零ベクトルでない行（または列）の個数（階段の段数とも表現される）
表現行列 $A$ の線型写像の像空間の次元。詳しくは#線型写像の階数を参照。
$A$ の 0 でないような小行列式の最大サイズ
$A$ の特異値の数

文献により、上記の条件のいずれかを以って行列 $A$ の階数は定義される。

注意

いま $A$ の列空間の次元を「列階数」、行空間の次元を「行階数」と呼べば、線型代数学における基本的な結果の一つとして、列階数と行階数は常に一致するという事実が成立するから、それらを単に $A$ の階数と呼ぶことができる。これについて、Wardlaw (2005)^[4] はベクトルの線型結合の基本性質に基づく四文証明を与えた（これは任意の体上で有効である）。また、Mackiw (1995) ^[2]は実数体上の行列に対して有効な、直交性を用いたエレガントな別証明を与えている。両証明とも教科書 Banerjee & Roy (2014) ^[5]に出ている。

性質

$A$ を $m \times n$ 行列とする。また、 $f$ を表現行列 $A$ の線型写像とする。

一般の体上

$m \times n$ 行列の階数は非負整数で、 $m, n$ の何れも超えない。すなわち $rank(A) \leq min(m, n)$ が成り立つ。特に $rank(A) = min(m, n)$ のとき、 $A$ は最大階数（full rank; フルランク; 充足階数、完全階数）を持つとかフルランク行列などといい、さもなくば $A$ は階数落ち（英語版） (rank deficient; 階数不足) であるという。
$A$ が零行列のときかつその時に限り $rank(A) = 0$ .
$f$ が単射となるための必要十分条件は、 $rank(A) = n$ （これを $A$ は列充足階数を持つという）となることである。
$f$ が全射となるための必要十分条件は、 $rank(A) = m$ となる（ $A$ が行充足階数を持つ）ことである。
$A$ が正方行列（つまり $m = n$ ）のとき、 $A$ が正則であるための必要十分条件は、 $rank(A) = n$ （ $A$ が充足階数）となることである。
B を任意の n × k 行列として rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)) が成り立つ。
- $B$ が行充足階数 $n \times k$ 行列ならば $rank(AB) = rank(A)$ が成り立つ。
- $C$ が列充足階数 $l \times m$ 行列ならば $rank(CA) = rank(A)$ が成り立つ。

$rank(A) = r$ となるための必要十分条件は、 $m \times m$ 正則行列 $X$ と $n \times n$ 正則行列 $Y$ が存在して $XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}$ が成立することである。ただし $I r$ は $r \times r$ 単位行列である。右辺の行列は一意的に定まり $A$ の階数標準形と呼ばれる^[6]。
$rank(A) = rank(A ⊤)$ （ $A ⊤$ は転置行列）
階数・退化次数の定理が成立

シルベスターの階数不等式: $m \times n$ 行列 $A$ と $n \times k$ 行列 $B$ に対し $\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB)$ が成り立つ。^{[注釈 1]}
フロベニウスの不等式: 行列の積 $A, ABC, BC$ がいずれも定義されるとき、 $\operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)\leq \operatorname {rank} (B)+\operatorname {rank} (ABC)$ が成り立つ。^{[注釈 2]}
劣加法性: $A, B$ は同じ型の行列として $\operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)$ が成り立つ。この帰結として、階数 $k$ の行列は階数 $1$ の行列 $k$ 個の和に書くことができ、また $k$ 個より少ない階数 $1$ -行列の和には書けない。

特定の体上

$A$ が実数体上の行列であるとき、 $A$ の階数は対応するグラム行列の階数に等しい。すなわち、実行列 $A$ に対し $\operatorname {rank} (A^{\top }A)=\operatorname {rank} (AA^{\top })=\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{\top })$ が成り立つ。これは各々の核空間が等しいことを見れば示される。グラム行列の核は $A ⊤ Ax = 0$ となるベクトル $x$ からなる。このときさらに $0 = x ⊤ A ⊤ Ax = | Ax | 2$ も成り立つ^[7]。
$A$ が複素数体上の行列であるとき、 $A$ の複素共軛行列を $A$ , 共軛転置行列を $A*$ と書けば、 $\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} ({\overline {A}})=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A^{*})=\operatorname {rank} (A^{*}A)=\operatorname {rank} (AA^{*})$ が成り立つ。

階数の計算

例えば、行列

M={\begin{bmatrix}4&2&1\\5&4&1\\1&2&0\\\end{bmatrix}}

は、基本変形を行うことによって

M\iff {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&0\\\end{bmatrix}}

と書けるから、 $M$ の階数は $rank M = 2$ である。実際、[第 2 行] = [第 1 行] + [第 3 行] であるから、2 行目の行ベクトルは線型独立でない。ここで、1 行目と 3行目は明らかに線型独立であるから、 $rank M = 2$ である。

浮動小数点を用いたコンピューター上の数値計算においては、この基本変形を用いたりLU分解を用いることで階数を求める方法は、精度が落ちることもあり用いられない。替わりに、特異値分解（SVD）やQR分解を用いて求められる。

線型写像の階数

$V, W$ をベクトル空間とし、線型写像 $f : V \to W$ が与えられたとき、 $f$ の像 $f (V)$ の次元を線型写像 $f$ の階数と呼び、 $rk f$ や $rank f$ などで表す。 $V$ や $W$ は一般に無限次元であっても、像の次元 $dim f (V)$ が有限であれば線型写像の階数の概念は意味を持つ。とくに階数有限なる線型写像にはトレースが定義できて、古典群の表現論などで重要な役割を果たす。

$V$ や $W$ が有限次元ならば、行列表現によって $f$ は表現行列 $A f$ の共軛類が対応する。このとき、線型写像の階数と行列の階数との間には $rank f = rank A f$ という関係が成り立つが、行列の階数が正則行列を掛けることに関して不変であることから、この等式の成立は表現行列 $A f$ のとり方に依らない。

ベクトル空間 $V, W$ に対して $V$ が $n$ 次元とすれば、線型写像 $f : V \to W$ の階数は $n$ 以下である。実際に、 $rank f = n$ となるとき、線型写像 $f$ は非退化（ひたいか、non-degenerate, full rank）であるという。そうでないときには、像 $f (V)$ は $f$ で $0$ へ写される元の分だけ「つぶれている」と考えられ、線型写像 $f$ の核

\ker f:=\{v\in V\mid f(v)=0\}

の次元 $dim ker f$ を $f$ の退化次数と呼ぶ。 $f$ の退化次数を $nl f$ や $null f$ などで表すことがある。次の公式

\dim V=\operatorname {rank} f+\operatorname {null} \,f.

が成立し、階数と退化次数の関係式あるいは簡単に階数・退化次数公式などと呼ばれる。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ 証明: 階数–退化次数定理を不等式 $\dim \ker(AB)\leq \dim \ker(A)+\dim \ker(B)$ に適用すればよい
^ 証明: 写像 $C\colon \ker(ABC)/\ker(BC)\to \ker(AB)/\ker(B)$ は矛盾なく定義されて、単射である。したがって退化次数に対する不等式が得られるが、それを階数–退化次数定理で階数に関するものへ読み替えればよい。あるいは別法として、任意の部分線型空間 $M$ に対し $dim(AM) \leq dim(M)$ が成り立つから、これを $BC$ の像の $B$ の像における（直交）補空間の定める部分空間（次元は $rank(B) - rank(BC)$ ）を $M$ として適用する。その $A$ による像は次元 $rank(AB) - rank(ABC)$ である。

出典

^ Bourbaki, Algebra, ch. II, §10.12, p. 359
^ ^a ^b Mackiw, G. (1995), “A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix”, Mathematics Magazine 68 (4)
^ 黒木哲徳『なっとくする数学記号』講談社〈ブルーバックス〉、2021年、160頁。ISBN 9784065225509。
^ Wardlaw, William P. (2005), “Row Rank Equals Column Rank”, Mathematics Magazine 78 (4), doi:10.1080/0025570X.2005.11953349
^ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
^ 長谷川浩司『線型代数』（改訂版）日本評論社、2015年、141, 158頁。ISBN 978-4-535-78771-1。
^ Mirsky, Leonid (1955). An introduction to linear algebra. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66434-7