순서수 정의 가능 집합

집합론에서 순서수 정의 가능 집합(順序數定義可能集合, 영어: ordinal-definable set)은 유한 개의 순서수를 포함하는 1차 논리 공식으로 정의할 수 있는 집합이다.

다음 성질을 만족시키는 집합 ${\displaystyle S}$를 순서수 정의 가능 집합이라고 한다.

• 순서수 ${\displaystyle \alpha }$ 및 순서수의 유한열 ${\displaystyle \beta _{1},\dots ,\beta _{n}}$ 및 ${\displaystyle n+1}$개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 공식 ${\displaystyle \phi \in \langle \in \rangle }$이 존재하며, ${\displaystyle \{T\in V_{\alpha }\colon \phi (T,\beta _{1},\dots ,\beta _{n})\}=\{S\}}$이다.

순서수 정의 가능 집합의 고유 모임을 ${\displaystyle \operatorname {OD} }$라고 한다.

계승적 순서수 정의 가능 집합(繼承的順序數定義可能集合, 영어: hereditarily ordinal-definable set)은 모든 부분집합이 계승적 순서수 정의 가능 집합인 순서수 정의 가능 집합이다. 계승적 순서수 정의 가능 집합의 고유 모임을 ${\displaystyle \operatorname {HOD} }$라고 한다.

계승적 순서수 정의 가능 집합의 고유 모임은 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이다. (계승적) 순서수 정의 가능 집합의 성질은 절대적이지 않다. 즉, 순서수 정의 가능 집합이 내부 모형에서는 더 이상 순서수 정의 가능하지 않을 수 있다.

만약 구성 가능성 공리를 가정한다면, 모든 집합은 계승적 순서수 정의 가능 집합이다.

모든 집합이 (계승적) 순서수 정의 가능 집합이라는 공리는 보통 ${\displaystyle V=\operatorname {OD} }$ 또는 ${\displaystyle V=\operatorname {HOD} }$로 쓴다. 이 공리는 (구성 가능성 공리와 달리) 거의 모든 알려진 큰 기수 공리와 무모순적이며, 또한 선택 공리를 함의한다.^[1]

쿠르트 괴델이 1946년에 도입하였다.^[2]

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