슈필라인 확장정리

슈필라인 확장정리(영어: Szpilrajn extension theorem) 또는 마르체프스키 확장정리(Marczewski extension theorem)는 집합론의 정리로, 선택 공리의 많은 응용 사례 중 하나이다.

임의의 집합 ${\displaystyle X}$ 및 이항 관계 ${\displaystyle R\subset X^{2}}$에 대하여, 다음 두 조건들이 성립한다고 하자.

• (추이관계) 임의의 ${\displaystyle x,y,z\in X}$에 대하여, ${\displaystyle xRy}$이며 ${\displaystyle yRz}$라면 ${\displaystyle xRz}$
• (비반사 관계) 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \lnot (xRx)}$

슈필라인 확장정리에 따르면, 다음 네 조건들을 만족시키는 이항 관계 ${\displaystyle {\tilde {R}}\subset X^{2}}$가 존재한다.

• (추이관계) 임의의 ${\displaystyle x,y,z\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x{\tilde {R}}y}$이며 ${\displaystyle y{\tilde {R}}z}$라면 ${\displaystyle x{\tilde {R}}z}$
• (비반사 관계) 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \lnot (x{\tilde {R}}x)}$
• (확장성) 임의의 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle xRy}$라면 ${\displaystyle x{\tilde {R}}y}$
• (완전 관계) 임의 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x{\tilde {R}}y}$이거나 ${\displaystyle y{\tilde {R}}x}$

예를 들어,

${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$

${\displaystyle R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}}$

이라면, ${\displaystyle R}$는 이미 비반사 추이 완전 관계이므로, 슈필라인 확장 정리는 자명하게 성립한다.

다른 예로

${\displaystyle X=\{1,2,3,4\}}$

${\displaystyle R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(1,4)\}}$

라 하자. 이는 비반사 추이 관계이나, 완전 관계가 아니다. 그렇다면 슈필라인 확장 정리에 따라서 이 관계의 비반사 추이 완전 확장이 존재한다. 이러한 확장은 유일하지 않으며, 아래의 ${\displaystyle {\tilde {R}}}$와 ${\displaystyle {\tilde {R}}'}$ 둘 다 이 조건을 만족시킨다.

${\displaystyle {\tilde {R}}=\{(1,2),(2,3),(1,3),(1,4),(2,4),(3,4)\}}$

${\displaystyle {\tilde {R}}'=\{(1,2),(2,3),(1,3),(1,4),(4,2),(4,3)\}}$

바르샤바 학파에 속하는 폴란드인 수학자 에드바르트 마르체프스키(Edward Marczewski, 1907년 - 1976년)가 입안하였다.^[1] '슈필라인'이라는 이름이 붙은 것은 1940년까지 마르체프스키의 성이 슈필라인이었는데, 이 시기인 1930년에 정리가 출판되었기 때문이다.