강콤팩트 기수

집합론에서 강콤팩트 기수(强compact基數, 영어: strongly compact cardinal)는 티호노프 정리와 유사한 성질을 만족시키는 무한 기수이다. 큰 기수의 하나이다.

기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, 위상 공간 ${\displaystyle X}$가 다음 성질을 만족시키면, ${\displaystyle X}$가 ${\displaystyle \kappa }$-콤팩트하다고 한다.

• ${\displaystyle X}$의 모든 열린 덮개는 크기가 ${\displaystyle \kappa }$ 미만인 부분 덮개를 갖는다.

일반적인 콤팩트 공간의 개념은 ${\displaystyle \aleph _{0}}$-콤팩트 공간이다.

두 무한 기수 ${\displaystyle \kappa ,\lambda }$가 주어졌을 때, 무한 논리 ${\displaystyle L_{\kappa ,\lambda }}$는 ${\displaystyle \kappa }$개 미만의 항들의 논리합·논리곱과 ${\displaystyle \lambda }$개 미만의 변수들에 대한 한정 기호 ∀및 ∃를 적용할 수 있는 논리이다.

무한 기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 무한 기수를 강콤팩트 기수라고 한다.

• 임의의 개수의 ${\displaystyle \kappa }$-콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간은 ${\displaystyle \kappa }$-콤팩트 하우스도르프 공간이다.^[1]
• 임의의 집합 위의 ${\displaystyle \kappa }$-완비 필터는 ${\displaystyle \kappa }$-완비 극대 필터의 부분 필터이다.^[2]:37
• 무한 논리 ${\displaystyle L_{\kappa ,\kappa }}$는 콤팩트성 정리를 만족시킨다.^[2]:36–37 즉, 임의의 명제들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset L_{\kappa ,\kappa }}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  • ${\displaystyle M\models {\mathcal {T}}}$인 구조 ${\displaystyle M}$이 존재한다.
  • 크기가 ${\displaystyle \kappa }$ 미만인 임의의 부분집합 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {T}}}$에 대하여, ${\displaystyle M\models {\mathcal {S}}}$인 구조 ${\displaystyle M_{\mathcal {S}}}$가 존재한다.

모든 비가산 강콤팩트 기수는 가측 기수이다.^[2]:38 (가측 기수는 정의에 따라 비가산 기수이므로, ${\displaystyle \aleph _{0}}$는 강콤팩트 기수이지만 가측 기수가 아니다.) 모든 초콤팩트 기수는 강콤팩트 기수이다.

선택 공리를 가정하면, 티호노프 정리에 따라서, ${\displaystyle \aleph _{0}}$은 강콤팩트 기수이다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 이 밖의 다른 강콤팩트 기수의 존재를 증명할 수 없다.

하워드 제롬 카이슬러(독일어: Howard Jerome Keisler)와 알프레트 타르스키가 도입하였다.^[3]

• Mycielski, Jan (2006년 2월). “A system of axioms of set theory for the rationalists” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 53 (2): 206–213. Zbl 1102.03050. 

• “Strongly compact cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2014년 12월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 12월 25일에 확인함.