풍부한 가역층

대수기하학에서 풍부한 가역층(豐富한可逆層, 영어: ample invertible sheaf)은 그 거듭제곱의 단면들을 사영 공간의 동차 좌표로 간주하여 대수다양체를 사영 공간에 매장시킬 수 있는 가역층이다.^[1] 복소수체 위에서, 이는 가역층의 천 특성류가 켈러 구조로 표현됨을 뜻한다.

스킴 사상 ${\displaystyle q\colon X\to Y}$ 및 ${\displaystyle X}$ 위의 가역층 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는

• ${\displaystyle Y}$ 위의 준연접층 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$
• ${\displaystyle Y}$-스킴의 몰입 ${\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

가 존재한다면, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$이 ${\displaystyle q}$에 대하여 매우 풍부한 가역층(영어: very ample invertible sheaf relative to ${\displaystyle q}$, 프랑스어: faisceau inversible très ample pour ${\displaystyle q}$)이라고 한다.^{[2]:79, Définition 4.4.2}

${\displaystyle {\mathcal {L}}\cong \iota ^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ({\mathcal {E}})}(1)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ({\mathcal {E}})}(1)}$의 단면들은 대략 사영 공간의 동차좌표(의 선형결합)에 해당하므로, ${\displaystyle L}$의 단면들은 사영 공간의 동차좌표를 이룬다. 매우 풍부한 인자(영어: very ample divisor)는 매우 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

로빈 하츠혼^[3]:120과 류칭^{[4]:167, Definition 5.1.26}이 사용하는 “매우 풍부한 가역층”의 정의는 알렉산더 그로텐디크의 정의와 약간 다르며, 이를 편의상 H-매우 풍부한 가역층이라고 하자. 이 정의는 다음과 같다.

스킴 사상 ${\displaystyle q\colon X\to Y}$ 및 ${\displaystyle X}$ 위의 가역층 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$이 주어졌다고 하자. 만약 어떤 (충분히 큰) 양의 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여 ${\displaystyle Y}$-스킴의 몰입

${\displaystyle \iota \colon X\hookrightarrow \mathbb {P} _{Y}^{n}}$

이 존재한다면, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$이 ${\displaystyle q}$에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이라고 한다.

즉, H-매우 풍부한 가역층의 정의에서 준연접층 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$는 자명한 (뒤틀리지 않은) (준)연접층, 즉 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {P} _{Y}^{n}}$의 꼴이어야 한다. 모든 H-매우 풍부한 가역층은 매우 풍부한 가역층이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

콤팩트 분리 스킴 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 위의 가역층 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$이 다음 조건을 만족시킨다면, 풍부한 가역층(영어: ample invertible sheaf, 프랑스어: faisceau inversible ample)이라고 한다.^{[2]:84, Définition 4.5.3[3]:153}

• ${\displaystyle X}$ 위의 임의의 유한형 준연접층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에 대하여, 충분히 큰 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$은 대역적 단면으로부터 생성된다.^{[2]:85, Proposition 4.5.5(d)[3]:153[4]:169, Definition 5.1.33}
• ${\displaystyle X}$ 위의 임의의 유한형 준연접층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus k}}$의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 ${\displaystyle n,k\in \mathbb {Z} ^{+}}$가 존재한다.^{[2]:85, Proposition 4.5.5(d′)}
• ${\displaystyle X}$ 위의 유한형 준연접 아이디얼 층 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$가 ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus k}}$의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 ${\displaystyle n,k\in \mathbb {Z} ^{+}}$가 존재한다.^{[2]:85, Proposition 4.5.5(d″)}

풍부한 인자(豊富한因子, 영어: ample divisor)는 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

풍부한 가역층의 개념은 매우 풍부한 가역층의 개념과 달리 절대적인 조건이다. 즉, 스킴의 사상 대신, 스킴 자체에 대하여 정의된다.^{[3]:153, Remark II.7.4.1}

국소환 달린 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 아벨 군 층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 대역적 단면으로 생성되는 층(영어: sheaf generated by global sections)이라고 한다.

• 임의의 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},U)=\operatorname {Span} \operatorname {res} _{X,U}(\Gamma ({\mathcal {F}},X))}$이다.

여기서 ${\displaystyle \operatorname {res} _{X,U}\colon \Gamma ({\mathcal {F}},X)\to \Gamma ({\mathcal {F}},U)}$는 제약 사상이며, ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},-)}$는 주어진 열린집합 위의 단면들의 아벨 군이다.

뇌터 환 ${\displaystyle R}$ 위의 사영 스킴 ${\displaystyle p\colon X\to \operatorname {Spec} R}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle p}$에 대하여 H-매우 풍부한 가역층은 풍부한 가역층이다.^{[3]:154, Example II.7.4.3} 뇌터 환 ${\displaystyle R}$ 위의 유한형 스킴 ${\displaystyle p\colon X\to \operatorname {Spec} R}$ 및 ${\displaystyle X}$ 위의 가역층 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$이 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[3]:154, Theorem II.7.6}

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$이 풍부한 가역층이다.
• 충분히 큰 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$은 ${\displaystyle p}$에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이다.

모든 풍부한 가역층은 네프 가역층이다. 그러나 그 역은 거짓일 수 있다.

주어진 가역층이 풍부한지를 결정하려면 다양한 (필요) 충분 조건들이 존재한다.

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 고유 스킴 ${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} K}$ 위에 카르티에 인자 ${\displaystyle D}$가 주어졌다고 하자. 나카이-모이셰존 조건([中井]-Мойшезон條件, 영어: Nakai–Moishezon condition)에 의하면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle D}$에 대응하는 가역층은 풍부한 가역층이다.
• 모든 정역 부분 스킴 ${\displaystyle Y\subset X}$에 대하여, 다음이 성립한다.

  ${\displaystyle \overbrace {D.D.\cdots .D} ^{\dim Y}.Y>0}$

클라이먼 조건(Kleiman條件, 영어: Kleiman condition)에 따르면, 임의의 사영 대수다양체 X 위의 카르티에 인자 D에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle D}$는 풍부한 가역층이다.
• ${\displaystyle X}$ 위의 곡선뿔(영어: cone of curves)을 ${\displaystyle \operatorname {NE} (X)}$라고 하자. 그 폐포 위의 임의의 원소 ${\displaystyle C\in {\overline {\operatorname {NE} (X)}}}$에 대하여, ${\displaystyle D.C>0}$이다.

클라이만 조건에서 곡선뿔의 폐포를 취하는 것은 나카이-모이셰존 조건에서 ${\displaystyle D.D>0}$인 것과 대응한다.

카르탕-세르-그로텐디크 정리(영어: Cartan–Serre–Grothendieck theorem)에 따르면, 대수다양체 위의 가역층 ${\displaystyle L}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle L}$은 풍부한 가역층이다.
• ${\displaystyle X}$ 위의 임의의 연접층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes L^{n}}$이 대역적 단면으로 생성되는 층이 되게 하는 충분히 큰 ${\displaystyle n}$이 존재한다.

복소수 ${\displaystyle n}$차원 복소다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 (1,1)차 복소수 미분 형식

${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1,1}(M)\cap \Omega ^{2}(M;\mathbb {R} )}$

에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 형식을 양의 (1,1)-미분 형식(영어: positive (1,1)-form)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in M}$에서, 정칙 접공간 ${\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{1,0}M}$의 쌍대 공간 ${\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{1,0*}M}$의 기저 ${\displaystyle (\mathrm {d} z^{1},\dotsc ,\mathrm {d} z^{n})}$을 잡았을 때, ${\displaystyle \mathrm {i} \omega |_{x}=\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}dz^{i}\wedge d{\bar {z}}^{i}}$의 꼴이며, ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\geq 0}$는 음이 아닌 실수이다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in M}$ 및 ${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{x}^{1,0}(M)}$에 대하여, ${\displaystyle -\mathrm {i} \omega (v,{\bar {v}})\geq 0}$이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Im} h=-\omega }$인, 양의 반정부호인 에르미트 형식 ${\displaystyle h}$가 존재한다.

즉, 양의 (1,1)-미분 형식을 갖춘 복소다양체는 에르미트 다양체와 동치이다.

복소다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 해석적 선다발 ${\displaystyle L\twoheadrightarrow M}$에 대하여, ${\displaystyle \nabla ^{0,1}={\bar {\partial }}}$인 표준적인 접속이 존재하는데, 이를 천 접속(영어: Chern connection)이라고 한다. 천 접속의 곡률 ${\displaystyle F}$는 항상

${\displaystyle F\in \Omega ^{1,1}(M)\cap \mathrm {i} \Omega ^{2}(M;\mathbb {R} )}$

이며, 천 특성류를 표현한다. 만약 ${\displaystyle \mathrm {i} F}$가 양의 (1,1)-미분 형식이라면 (즉, 천 특성류가 에르미트 다양체 구조를 정의한다면), ${\displaystyle L}$을 양의 선다발(영어: positive line bundle)이라고 한다. ${\displaystyle F}$는 항상 닫힌 미분 형식이므로, 이는 켈러 다양체의 구조를 정의한다.

복소수체 위의 완비 대수다양체 ${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} \mathbb {C} }$ 위의 가역층 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 그 해석화 ${\displaystyle X^{\operatorname {an} }}$는 콤팩트 복소다양체를 이루며, ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\operatorname {an} }}$은 그 위의 해석적 선다발을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$은 풍부한 가역층이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\operatorname {an} }}$은 양의 선다발이다.

뇌터 아핀 스킴 위의 모든 가역층은 풍부한 가역층이다.^{[3]:154, Example II.7.4.2}

체 ${\displaystyle K}$ 위의 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}}$ 및 정수 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$에 대하여, 가역층

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(k)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(-1)^{\otimes -k}}$

을 정의할 수 있다. 여기서 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$은 보편 가역층이다. 이 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.^{[3]:155, Example II.7.6.1}

• ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$는 풍부한 가역층이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$는 스킴 사상 ${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}\twoheadrightarrow \operatorname {Spec} K}$에 대하여 매우 풍부한 가역층이다.
• ${\displaystyle k>0}$이다.

대수적으로 닫힌 체 위의 대수 곡선의 경우, 어떤 인자 ${\displaystyle D}$에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은 ${\displaystyle \deg D>0}$인 것이다. 이는 나카이-모이셰존 조건의 특수한 경우이다.

마찬가지로, 종수 ${\displaystyle g}$의 대수 곡선의 경우, 인자 ${\displaystyle D}$에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은

${\displaystyle \deg D\geq 2g+1}$

인 것이다.

예를 들어, 사영 직선(${\displaystyle g=0}$)의 경우 모든 선다발은 보편 선다발의 정수차 텐서곱 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$이다 (버코프-그로텐디크 정리 영어: Birkhoff–Grothendieck theorem). 이 경우 ${\displaystyle d\geq 1}$인 경우는 매우 풍부한 가역층이며, ${\displaystyle d\leq 0}$인 경우는 풍부한 가역층이 아니다. 예를 들어, 사영 직선 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ 위의 가역층 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(2)}$을 생각하자. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$의 동차 좌표계 ${\displaystyle [s:t]}$에 대하여, 그 단면의 공간은

${\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ^{1};{\mathcal {O}}(2))=Ks^{2}\oplus Kst\oplus Kt^{2}}$

이다. 즉, 사상

${\displaystyle [s:t]\to [s^{2}:st:t^{2}]}$

는 매장 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {P} ^{2}}$을 정의하며, 그 상은 대수 곡선

${\displaystyle \operatorname {Proj} {\frac {K[x,y,z]}{xz-y^{2}}}}$

이다.

사영 직선의 경우와 달리, 종수가 1 이상일 경우, 풍부한 가역층이지만 매우 풍부한 가역층이 아닌 가역층이 존재한다.

나카이-모이셰존 조건에 따라서, 대수 곡면의 경우 풍부한 인자 ${\displaystyle D}$는 다음 두 조건을 만족시키는 인자이다.

• ${\displaystyle D}$의 자기 교차수 ${\displaystyle D.D>0}$
• ${\displaystyle X}$ 위의 임의의 (기약) 대수 곡선 ${\displaystyle C\subset X}$에 대하여 ${\displaystyle D.C>0}$

자기 교차수가 양수라는 조건은 생략할 수 없다. 나가타 마사요시는 임의의 기약 곡선에 대한 교차수가 양수이지만, 자기 교차수가 양수가 아닌 인자를 제시하였다.^[5]

나카이-모이셰존 조건은 나카이 요시카즈(일본어: 中井 喜和 (なかい よしかず))^[6]와 보리스 게르셰비치 모이셰존(러시아어: Бори́с Ге́ршевич Мойшезо́н)^[7] 이 1963년~1964년에 독자적으로 도입하였다.

클라이먼 조건은 스티븐 로런스 클라이먼(영어: Steven Lawrence Kleiman)이 1966년에 도입하였다.^[8]

• Iskovskikh, V.A. (2001). “Invertible sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Iskovskikh, V.A. (2001). “Ample sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Ivanova, O.A. (2001). “Ample vector bundle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Ample sheaf”. 《nLab》 (영어). 
• “Positive line bundle”. 《nLab》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2013년 1월 30일). “The Nakai-Moishezon criterion”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• “How should I think about very ample sheaves?” (영어). StackExchange. 
• “Kleiman's and Nakai-Moishezon's ampleness criteria” (영어). Math Overflow. 
• “Do versions of the Nakai-Moishezon and Kleiman criteria hold for Moishezon manifolds, or other 'nice' spaces?” (영어). Math Overflow. 
• “Are “ample” and “positive” line bundle the same concept?” (영어). Math Overflow. 

• 파노 다양체
• 렙셰츠 초평면 정리
• 소멸 정리