Бијекција
Во математиката, бијективна функција или бијекција е функција f : A → B која е и инјективна и сурјективна. Тоа значи: за секој елемент b во кодоменот B постои точно еден елемент a од доменот A таков што f(a)=b. Бијекцијата исто така се нарекува 1-1 кореспонденција.[1][2] Терминот бијективност и сродните термини сурјективност и инјективност беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki)[3] и група други, воглавно француски математичари од 20 век, кој почнувајќи од 1935 година напиша серија книги за презентирање на модерната напредна математика.
Основни својстваФормално имаме:
Елементот се вика претслика на елементот .
Забелешка: Сурјекција значи минимум една претслика. Инјекција значи максимум една претслика. Бијекција значи точно една претслика. КардиналностКардиналноста на едно множество е мерка на бројот на елементите во множеството. На пример, ако A={X,Y,Z,W}, тогаш кардиналноста на А е 4 и пишуваме #A=4. Кардиналноста на едно множество се одредува преку бијекција помеѓу даденото множество и множество со позната кардиналност.[4]
Пример: Нека А=B=ℕ. Идентичната функција f(x)=x e бијекција. Функцијата f(x)=2x е инјекција која не е сурјекција. Функцијата f(x)=round(x/2) е сурјекција која не е инјекција каде што round(z) го заокружува z така што f(1)=round(1/2)=round(0,5)=1, f(2)=round(2/2)=1, f(3)=round(3/2)=round(1,5)=2, .... Бијекции и инверзни функции
Формално: Нека f : A → B е бијективна функција. Инверзната функција на бијективна функција f е (бијективна) функција g : B → A дефинирана со: ако f(a)=b, тогаш g(b)=a. Значи, сите стрелки на пресликување се обратно насочени.
Забелешка: Нотацијата за инверзна функција на функцијата f е проблематична. Имено, со
ПримериЕлементарни функцииНека f(x):ℝ→ℝ е реална функција y од реален аргумент x. (Значи влез и излез се броеви.)
Пример: Линеарната функција на која било коса права е бијективна, односно y=ax+b каде што a≠0 е бијекција. (Види линеарна функција.) Слика 1.
Пример: Кубната полиномна функција f(x)=x3 е бијекција. Слика 2 и Слика 5: тенката жолта крива.
f(x)= ∛x. Слика 5: дебелата зелена крива. Пример: Квадратната функција f(x) = x2 не е бијекција (од ℝ→ℝ). Слика 3. Не е сурјекција. Не е инјекција. Меѓутоа со ограничување на доменот и кодоменот до множеството на ненегативни броеви [0,+∞) се добива бијекција (види примери подолу). Бијекции и нивните инверзни функцииНека f(x):A→B каде што A и B се подмножества на ℝ.
Пример: Квадратната функција дефинирана на ограничениот домен и кодомен [0,+∞)
е бијекција. Слика 6: тенката жолта крива. Пример: Функцијата квадратен корен дефинирана на ограничуваниот домен и кодомен [0,+∞)
е бијекцијата дефинирана како инверзната функција на квадратната функција: x2. Слика 6: дебелата зелена крива. Забелешка: Последниот пример го покажува следното. За одредување дали некоја функција е бијекција или не, потребно е да се знае:
Пример: Нека машината биде f(x)=x².
Пример: Експоненцијалната функција дефинирана на доменот ℝ и на ограничуваниот кодомен (0,+∞)
е бијекција. Слика 4: тенката жолта крива (земено е a=10). Пример: Логаритамската функција со основа a дефинирана на ограничуваниот домен (0,+∞) и на кодоменот ℝ
е бијекцијата дефинирана како инверзната функција на експоненцијалната функција: ax. Слика 4: дебелата зелена крива (земено е a=10). Наводи
ПоврзаноНадворешни врски
|
Portal di Ensiklopedia Dunia