Кардиналност

Кардиналност (моќност) — поим за бројноста на членовите во едно множество. На пример, множеството A = {2, 4, 6} содржи 3 члена, па затоа велиме дека A има кардиналност 3. Постојат два приода кон кардиналноста — едниот множествата ги споредува непосредно со бијекции и инјекции и друг со примена на кардинални броеви.^[1]

Кардиналноста на едно множество A обично се означува со | A |, т.е. исправена црта од обете страни. Ова е истата нотација што се користи за апсолутна вредност, па затоа значењето зависи од контекстот. Друг начин е да се означи со n(A), A, card(A) или # A.

Две множества A и B имаат иста кардиналност ако постои бијекција, т.е. инјективна и сурјективна функција од A во B. Ваквите множества се нарекуваат рамнобројни или рамносилни (еквипотентни).

На пример, множеството E = {0, 2, 4, 6, ...} на ненегативни парни броеви има иста кардиналност како множеството N = {0, 1, 2, 3, ...} на природни броеви, бидејќи функцијата f(n) = 2n е бијекција од N во E.

A има кардиналност поголема од или еднаква на кардиналноста на B ако постои инјективна функција од B во A.

A има кардиналност строго поголема од кардиналноста на B ако постои инјективна функција, но не и бијективна, од B во A.

На пример, множеството R на сите реални броеви има кардиналност строго поголема од кардиналноста на множеството N на сите природни броеви, бидејќи вклучувачкото пресликување i : N → R е инјективно, но може да се покаже дека не постои бијективна функција од N во R.

Релацијата на еднаква кардиналност се нарекува рамнобројност, па така претставува релација на еквиваленција на класата на сите множества. Така, класата на еквивалентност на множеството A со ваква релација се состои од сите тие множества што имаат иста кардиналност како A. Постојат два начина да се дефинира „кардиналност на множеството“:

1. кардиналноста на едно множество A сењ дефинира како неговата класа на еквивалентност при рамнобројност.
2. за секоја класа на еквивалентност се задава претставително множество. Најчест избор е првиот реден број од таа класа. Ова обично се зема како дефиниција за кардинален број во аксиоматската теорија на множествата.

Кардиналностите на бесконечни множества се претставуваат со

${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<\ldots .}$

For each ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$ е најмалиот кардинален број поголем од ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$.

Кардиналноста на природните броеви се бележи со алеф-нула (${\displaystyle \aleph _{0}}$), додека пак кардиналноста на реалните броеви се означува со „${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$“ и се нарекува кардиналност на континуумот. Користејќи го дијагоналниот аргумент, Кантор покажал дека ${\displaystyle {\mathfrak {c}}>\aleph _{0}}$. Можеме да покажеме дека ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$, што е и кардиналноста на множество од сите подмножества на природните броеви. Хипотезата за континуумот дели дека ${\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}}$, т.е. ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ е најмал кардинален број поголем од ${\displaystyle \aleph _{0}}$, што значи дека не постои множество чија кардиналност е строго помеѓу таа на целите и онаа на реалните броеви. Хипотезата за континуумот останува неразрешена во „апсолутна“ смисла.^[2]

Ако важи аксиомата за изборот, тогаш за кардиналноста ќе важи законот за трихотомија . Така, можеме да ги дадеме следниве дефиниции:

• секое множество X со кардиналност помала од онаа на природните броеви (или | X | < | N |) се нарекува конечно множество.
• секое множество с X со иста кардиналност како множеството природни броеви (или | X | = | N | = ${\displaystyle \aleph _{0}}$) се нарекува преброиво бесконечно множество.
• секое множество X со кардиналност поголема од онаа на природните броеви (или | X | > | N |, for example | R | = ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ > | N |) се нарекува непреброиво множество.

Логичкото чувство стекнато работејќи со конечни множества нè напушта кога работиме со бесконечни множества. Кон крајот на XIX век, математичарите како Георг Кантор, Готлоб Фреге, Рихард Дедекинд и други го отфрлиле вкоренетото становиште на Галилео (изведено од она на Евклид) дека целото не може да има иста величина како негов дел. Еден ваков пример е Хилбертовиот парадокс. Дедекинд го дефинира бесконечното множество како она што може да се стави во совпаѓање еден на еден со строго подмножество (т.е. има иста величина во Канторова смисла). Ова поимање за бесконечноста се нарекува „Дедекиндова бесконечност“. Кантор ги вовел кардиналните броеви и покажал дека (согласно неговата бијекциска дефиниција за величина) некои бесконечни множества се поголеми од други. Најмалата бесконечна кардиналност е онаа на природните броеви (${\displaystyle \aleph _{0}}$).

Еден од најважните исходи од Канторовата работа е утврдувањето дека кардиналноста на континуумот (${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$) е поголема од онаа на природните броеви (${\displaystyle \aleph _{0}}$) — дека постојат повеќе реални броеви R од цели броеви N. Имено, Кантор покажал дека

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$

(вид. Канторов дијагонален аргумент).

Хипотезата за континуумот вели дека не постои кардинален број помеѓу кардиналноста реалните и кардиналноста на природните броеви:

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}=\beth _{1}}$

(вид. бет-еден).

Меѓутоа, оваа хипотеза не може да се докаже, ниту да се побие во рамките на општоприфатената Цермело-Френкелова аксиоматска теорија на множествата, доколку истата е доследна.

Со кардиналната аритметика покажуваме не само дека бројот на точки на реалната бројна оска е еднаков на бројот на точки на отсечка од таа оска, туку дека ова е еднакво на бројот на точки на една рамнина и впрочем секој простор со конечен број димензии. Ваквите наоди изгледат многу бидејќи подразбираат дека постојат строги подмножества и строги надмножества на бесконечно множество S кои имаат иста величина како S, иако S содржи членови што не им припаѓаат на неговите подмножества, а надмножествата на S содржат членови што не се вклучени во него.

Прваиот од овие наоди е воочлив разгледувајќи, на пример, тангентна функција, што дава совпаѓање еден на еден помеѓу интервалот (−½π, ½π) и R.

Вториот наод Кантор ја покажал во 1878 г, но станала поочигледна во 1890 г, откако италијанскиот математичар Џузепе Пеано ги вовел бесконечно густите криви — криви што се извиваат и свртуваат достатно многу за да исполнат цел еден квадрат, коцка, хиперкоцка или конечнодимензионален простор. Ваквите криви не претставуваат непосреден доказ дека линијата има ист број на точки како конечнодимензионален простор, но можат да се употребат за да се дојде до таков доказ.

Кантор исто така покажал дека постојат множества со кардиналност строго поголема од ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$. На пример, тука спаѓа:

• множеството од сите подмножества на R, т.е., партитивното множество на R, што се запишува како P(R) или 2^R
• множеството R^R на сите функции од R до R

Обете имаат кардиналност

${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}>{\mathfrak {c}}}$

(вид. бет-два).

Кардиналните еднаквости ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}}$ can be demonstrated using кардинална аритметика:

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\aleph _{0}}=2^{{\aleph _{0}}\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}.}$

• Ако X = {a, b, c} и Y = {јаболка, круши, сливи}, тогаш | X | = | Y | бидејќи {(a, јаболка), (b, круши), (c, сливи)} е бијекција помеѓу множествата X и Y. Кардиналноста на X и Y е 3.
• Ако | X | < | Y |, каде постои Z при што | X | = | Z | и Z ⊆ Y.
• Ако | X | ≤ | Y | и | Y | ≤ | X |, тогаш | X | = | Y |. Ова важи дури и за бесконечни кардинали и се нарекува Кантор-Бернштајн-Шредерова теорема.
• Множества со кардиналност на континуумот

Ако A и B се дисјунктни множества, тогаш

${\displaystyle \left\vert A\cup B\right\vert =\left\vert A\right\vert +\left\vert B\right\vert \,.}$

Оттука начелно можеме да покажеме дека кардиналностите на униите и пресеците се во релацијата^[3]

${\displaystyle \left\vert C\cup D\right\vert +\left\vert C\cap D\right\vert =\left\vert C\right\vert +\left\vert D\right\vert \,.}$

„Кардиналност“ на Ризницата ?

• Алеф-број
• Бет-број
• Преброиво множество
• Кардинален број
• Реден број